양재고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

양재고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

양재고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 범위는 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 항등식, 이차방정식입니다. 방정식과 부등식의 대수적 처리에 좌표와 도형 해석이 함께 놓인 시험입니다.

초반에는 무게중심, 연립일차부등식, 직선의 기울기처럼 기본 개념을 직접 적용합니다. 중반부터는 실근의 개수, 모든 실수에서의 성립, 거리의 최댓값처럼 계산 전에 조건을 해석해야 하는 문제가 나타납니다. 공식을 기억하는 것에서 그치지 않고 적용 조건을 설명할 수 있어야 합니다.

후반에는 같은 단원 안에서도 여러 판단이 이어집니다. 부등식은 매개변수에 따른 구간 비교가 필요하고, 직선 문제는 넓이와 거리 조건을 동시에 옮겨야 합니다. 서술·단답형은 좌표, 실생활 부등식, 도형과 방정식으로 구성되어 있으므로 앞에서 쓴 개념을 다른 상황에서도 연결하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 후반 객관식에 모인 어려움

쉬움 문항은 1·2·3·5·6·9·13번입니다. 무게중심과 기울기, 거리와 내분·외분 등 기본 공식을 정확히 쓰는 구간입니다. 특히 9번은 거리의 제곱으로 도형의 성질을 판단하고, 13번은 점의 순서와 분할 방향을 확인해야 하므로 암산만으로 넘기지 마세요.

보통 문항은 4·7·8·10·11·12·14·21·22번입니다. 사차방정식의 치환, 서로 다른 실근의 개수, 부등식이 항상 성립할 조건처럼 풀이의 출발점을 고르는 부담이 있습니다. 자동 분류 기준 보통이어도 예외 조건을 빠뜨리면 풀이가 흔들릴 수 있습니다.

어려움 문항은 15~20번과 23번입니다. 객관식 마지막 구간에 연속 배치되어 있지만 서술·단답형 21·22번은 보통으로 분류됩니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며 개인의 체감과 일치한다고 단정할 수 없습니다. 막히는 문항을 표시하고 다음 문항의 구조를 확인하는 운영을 연습하세요.

출제 단원 — 부등식의 비중과 직선의 응용

여러가지부등식은 2번의 기본 연립부등식에서 10~12번의 성립 조건, 16·17번의 구간 비교와 정수해, 22번의 활용으로 이어집니다. 해를 구하는 문제와 해 전체가 어떤 성질을 가져야 하는 문제를 구별하는 것이 우선입니다. 해가 없다는 말은 각 해가 없는지보다 공통부분이 없는지를 확인해야 한다는 뜻일 수 있습니다.

직선의방정식은 3·6번의 기울기에서 14번의 거리 최대, 19·20번의 도형 응용으로 확장됩니다. 평면좌표의 1·9·13·21번에서 다룬 거리와 분할점도 연결됩니다. 도형을 간단히 그리고 밑변과 높이, 점의 방향을 표시한 뒤 식을 세우세요.

여러가지방정식의 4·5·7·8·15번은 인수분해 뒤 근의 성질을 검토하는 과정이 중요합니다. 항등식 18번은 복소수 거듭제곱의 반복 구조를 나머지에 연결하고, 이차방정식 23번은 도형에서 필요한 관계식을 직접 구성합니다. 단원 이름만으로 계산 유형을 좁혀 준비하기 어려운 구성입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 부등식과 직선 응용의 비중 변화

작년과 올해는 모두 수학(상)입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항 수는 늘었지만 쉬움 문항 수도 늘었으므로 전체 시험이 일률적으로 더 어려워졌다고 단정하기는 어렵습니다. 서술·단답형은 줄었고, 객관식 후반을 처리하는 운영의 중요성을 함께 살펴야 합니다.

작년에는 여러가지방정식이 가장 많았고 올해는 여러가지부등식이 가장 많습니다. 직선의방정식도 작년보다 비중이 커졌으며 평면좌표는 줄었습니다. 공통 단원의 기본기를 유지하면서 부등식의 조건 해석과 직선의 거리·넓이 응용을 보강하는 방향이 적절합니다.

작년의 어려움 문항은 객관식 13~17번과 서술·단답형 20번이었고, 올해는 객관식 15~20번과 서술·단답형 23번입니다. 후반 객관식의 연속 구간을 만났을 때 서술·단답형까지 확인하는 연습을 하세요. 문항 배치의 변화가 다음 시험에도 반복된다고 가정할 필요는 없습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 풀이의 연결 단계를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 무엇을 미지수로 둘지 정하고, 조건을 식으로 바꾼 뒤 그 조건을 마지막 검토에도 사용해야 합니다. 풀이를 복습할 때 첫 관계식의 근거와 후보를 거르는 기준을 말로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 기본 공식과 인수분해로 접근 가능한 문항을 확보하세요. 14번의 거리 최대나 15번의 복소수 연결에서 출발이 보이지 않으면 표시하고 넘어갈 수 있어야 합니다. 15~20번을 모두 해결한 뒤 서술·단답형을 시작하려 하지 말고, 21·22번도 먼저 훑어 풀이 가능한 문제를 찾으세요.

서술·단답형에서는 관계식을 세우는 근거를 짧게 남기세요. 21번은 내부 이등분선의 선택, 22번은 가격과 인원 변화의 곱, 23번은 선분의 합과 넓이의 차가 출발점입니다. 연습 시에는 조건을 읽고 식을 세우는 시간과 식을 계산하는 시간을 구분해 기록하면 지연 원인을 찾기 좋습니다.

검토는 조건에 따라 진행하세요. 8번은 실근의 중복과 최고차항, 12번은 이차항이 사라지는 예외를 확인하세요. 16·17번은 끝점과 정수 조건, 19번은 절편의 부호, 20번은 사분면, 23번은 자연수와 길이 조건을 다시 확인하면 불필요한 전체 재계산을 줄일 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 좌표와 기울기의 기본 공식을 정확히 적용하세요. 무게중심, 거리, 내분·외분의 점 순서를 말로 확인하고 계산하세요(1·3·6·9·13번 대비).
2. 방정식은 공통 구조를 찾아 차수를 낮추는 연습부터 하세요. 치환과 인수분해 뒤 실근 존재와 중복 여부를 확인하세요(4·5·7·8번 대비).
3. 부등식의 해가 없음과 모든 실수에서 성립함을 구별하세요. 그래프와 판별식으로 조건을 설명하고 계수가 사라지는 예외를 따로 쓰세요(2·10·11·12번 대비).
4. 매개변수 부등식은 수직선을 그려 공통구간을 구하세요. 부호와 끝점 순서에 따라 경우를 나누고 정수해를 세어 보세요(16·17번 대비).
5. 복소수는 켤레근과 거듭제곱의 주기를 묶어 복습하세요. 반복되는 합을 정리한 뒤 다항식의 나머지를 확정하는 이유도 설명하세요(15·18번 대비).
6. 좌표도형은 거리와 넓이 조건을 식으로 옮기세요. 정점, 평행선, 이등분선과 분할점의 연결을 그림과 함께 정리하세요(14·19·20·21번 대비).
7. 활용 문제는 변수의 의미와 허용 범위를 먼저 적으세요. 비율 변화는 곱으로, 복합 도형은 길이와 넓이 관계로 표현하고 후보를 원래 조건에 대조하세요(22·23번 대비).