영동고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

영동고 고2 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

영동고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 회차는 도함수의 활용부터 부정적분, 정적분과 그 활용까지 다룹니다. 극값과 실근 개수, 접선, 넓이와 운동을 함께 점검하므로 미분과 적분을 따로 익히는 것만으로는 준비가 충분하지 않습니다.

초반에는 적분상수 결정, 정적분 계산, 대칭성, 속도 그래프의 의미를 확인합니다. 이후에는 함수식을 복원하거나 여러 조건을 묶어야 합니다. 특히 그래프를 식으로 바꾸고 다시 그래프로 해석하는 전환이 반복돼, 전개와 적분 계산보다 풀이 방향을 정하는 과정이 중요합니다.

객관식 뒤에는 서술·단답형이 배치돼 있습니다. 마지막 구간에서도 증가 조건, 구간별 원시함수, 두 점 사이의 거리, 역함수와의 넓이, 평행이동된 함수의 적분처럼 접근 방식이 달라집니다. 앞 문항에서 만든 계산 흐름을 그대로 적용하기보다 새 조건을 짧게 정리하고 시작하세요.

난이도 분포 — 객관식 중반부터 이어지는 어려움

자동 분류 기준 쉬움은 1·2·6번입니다. 계산량이 비교적 적더라도 2번의 적분 방향, 6번의 속도와 가속도 구분을 확인해야 합니다. 보통인 3·4·5번도 미적분의 기본정리, 홀짝성, 미분계수의 뜻을 사용하므로 단순한 식 계산으로만 보지 마세요.

7~16번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 중근에서 극값으로, 교점에서 접선으로, 넓이에서 최대·최소로 생각의 대상을 바꾸어야 합니다. 한 문항에 막힌 뒤 다음 문항도 어렵다는 이유로 계속 머무르면 서술·단답형을 살필 시간이 줄어듭니다.

17번은 전 구간 증가를 도함수의 부호 조건으로 옮기는 보통 문항입니다. 이후 18~21번은 자동 분류 기준 어려움으로, 구간을 나눈 근거와 함수의 성질을 함께 정리해야 합니다. 이 분포는 학습 우선순위를 잡는 참고이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 도함수의활용과 정적분이 중심

가장 많은 도함수의활용에서는 극값만 구하고 끝내지 않습니다. 8·14번은 극값과 수평선의 위치를 실근 개수로 연결하고, 10·16번은 접선 조건을 중근이나 접점에 관한 방정식으로 옮깁니다. 도함수의 부호표를 그린 뒤 그 정보가 원함수에 무엇을 알려 주는지 말로 설명하는 연습이 필요합니다.

정적분은 기본 계산부터 극한, 절댓값이 포함된 함수의 최대·최소, 합으로 정의된 함수까지 폭이 넓습니다. 정적분의활용 문항도 단순 넓이 계산에 머물지 않고 평행이동, 대칭, 두 점의 위치 차, 역함수로 확장됩니다. 부정적분에서는 1번의 기본 복원과 18번의 접합 조건을 연결해 복습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 서술·단답형과 적분 활용의 확대

작년과 올해 모두 수학II입니다. 전체 문항은 22문항에서 21문항으로 줄었지만 서술·단답형은 1문항에서 5문항으로 늘었습니다. 자동 분류 기준 어려움도 9문항에서 14문항으로 늘어, 문항 수 감소만으로 풀이 부담이 줄었다고 판단하기 어렵습니다.

도함수의활용은 12문항에서 8문항으로 줄었고 정적분은 6문항에서 7문항, 정적분의활용은 2문항에서 4문항으로 늘었습니다. 부정적분은 두 해 모두 2문항입니다. 미분 활용을 중심에 두되 적분으로 함수를 복원하고 넓이·운동을 해석하는 연습도 충분히 해야 합니다.

작년의 자동 분류 기준 어려움은 11번에서 시작했지만 올해는 7번부터 시작합니다. 작년에는 20번이 보통 서술·단답형이었고 올해는 17번 이후 18~21번이 어려움입니다. 다음 시험을 준비할 때는 중반에서 막혀도 후반을 먼저 살피는 운영과 조건을 짧게 기록하는 연습을 함께 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 계산에 앞서 표현을 바꾸어야 한다는 공통점이 있습니다. 접선을 접점의 방정식으로, 역함수의 넓이를 대칭 도형으로, 이동된 합을 구간별 적분으로 옮기는 연습이 필요합니다. 자동 분류와 풀이 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항이며 이용자 투표에 따른 순위는 아닙니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본 계산과 그래프 해석을 정확하게 마치고, 17번의 증가 조건도 먼저 확인하세요. 7~16번에서 접근이 보이지 않으면 사용한 조건과 남은 조건을 표시하고 이동하는 편이 좋습니다. 긴 전개를 반복하기보다 인수 구조나 그래프를 바꿔 볼 단서를 남겨 두세요.

서술·단답형을 마지막에 처음 읽지 않도록 시간을 남겨 두세요. 18번은 구간별 적분상수와 접합 조건, 19번은 재회 시각과 거리의 정의, 20번은 증가성과 대칭성, 21번은 유효 적분 구간을 먼저 적어 두면 계산을 재개하기 쉽습니다. 필요한 관계식이 정리된 문항부터 진행하면 남은 시간을 효율적으로 쓸 수 있습니다.

검토할 때는 8번의 서로 다른 근 조건, 14번의 극솟값 높이 비교, 15번의 절댓값 분할과 끝점, 17번의 경계 포함 여부를 확인하세요. 18번에서는 연속성만 확인하고 미분가능성 점검을 끝내지 않아야 합니다. 19번에서는 출발 시각과 출발 후 첫 재회 시각을 구별하고, 거리 함수의 부호 처리를 다시 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 적분과 미분의 기본 연결부터 정리하세요. 적분상수 결정, 끝점 대입, 미분계수 해석을 각각 설명하며 풀어 보세요(1·2·3·5·9번 대비).
2. 도함수의 부호표에서 원함수의 개형과 교점 수로 이어지는 연습을 하세요. 중근과 극점, 수평선이 극값을 지나는 경계를 확인하세요(7·8·14·17번 대비).
3. 접선과 곡선의 차를 인수로 표현하고 접점을 문자로 놓아 보세요. 넓이 최소화에서도 거리 함수를 먼저 세우세요(10·11·16번 대비).
4. 대칭·평행이동·절댓값을 포함한 정적분은 그림과 구간표를 만든 뒤 계산하세요. 넓이와 부호 있는 적분을 구분해 설명하세요(4·12·13·15·21번 대비).
5. 구간별 원시함수에는 적분상수를 따로 두고 연속성과 미분가능성을 차례로 적용하세요. 한 조건만 사용했을 때 무엇이 남는지 점검하세요(18번 대비).
6. 속도에서 위치와 거리를 구분하고 역함수에서는 증가성과 대칭성을 확인하세요. 풀이가 끝난 뒤 사용한 조건에 밑줄을 그으며 누락을 검토하세요(6·19·20번 대비).