보인고등학교
2023년 1학년 1학기 중간고사

보인고 1학년 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

보인고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 다항식, 항등식, 여러가지방정식, 이차함수, 이차방정식, 복소수입니다. 다항식의 사칙연산부터 복소수의 거듭제곱과 이차함수의 제한된 범위까지 함께 준비해야 하는 구성입니다.

초반의 동류항 계산과 나눗셈 관계는 기본기를 확인하지만, 뒤로 갈수록 식의 모양을 먼저 판단해야 합니다. 같은 인수분해라도 연립방정식의 경우 분류, 삼차식의 공통인수, 정사각뿔의 길이 관계로 쓰임이 달라집니다. 공식 자체와 그 공식을 선택할 근거를 함께 익혀야 합니다.

서술·단답형에도 인수분해와 근과 계수의 관계를 다루는 기본 문항이 있습니다. 반면 도형 해석, 움직이는 구간, 정수 범위의 최적화는 여러 단계를 연결해야 합니다. 처음부터 모든 식을 전개하기보다 무엇을 미지수로 두고 어떤 조건을 먼저 사용할지 짧게 정리하는 습관이 유용합니다.

난이도 분포 — 중반부터 등장하는 조건 결합

쉬움 문항은 기본 연산, 나눗셈 관계, 판별식, 인수분해, 근과 계수의 관계에 해당합니다. 16·20번이 포함되므로 서술·단답형 전체를 마지막에 한꺼번에 처리하려는 방식은 피하는 편이 좋습니다. 이 문항들은 계산을 짧고 정확하게 마무리하는 연습 대상으로 삼으세요.

보통 문항에서는 치환이나 인수분해 뒤 근의 성질을 확인하는 과정이 필요합니다. 6번은 치환한 값을 구한 뒤 원래 방정식의 실근과 허근을 구별해야 하고, 15번은 켤레근과 중근을 같은 인수 형태에 반영해야 합니다. 익숙한 공식이라도 어느 식에 적용하는지 분명해야 합니다.

어려움은 9번에서 시작해 객관식과 서술·단답형에 나뉘어 있습니다. 12번의 서로 다른 교점, 18번의 이동 구간, 21번의 정수 조건처럼 계산 전후의 검토가 중요한 문항이 눈에 띕니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 다항식의 비중과 항등식의 조건 해석

다항식은 가장 많이 출제되었지만 단순 전개만의 단원은 아닙니다. 13번은 근이 만족하는 관계를 거듭제곱의 대칭식으로 바꾸고, 14번은 새로 정의된 식을 여러 조건에 적용합니다. 17번에서는 공간도형에서 얻은 부피와 길이 관계를 곱셈 공식으로 연결해야 합니다.

여러가지방정식은 자동 분류 기준 모두 보통이지만 풀이 방식이 다양합니다. 연립방정식의 해의 개수, 허근의 주기, 공통부분 치환, 인수분해를 통한 경우 분류, 켤레근을 포함한 사차식 구성을 각각 연습해야 합니다. 한 가지 풀이법으로 단원 전체를 대신하기 어렵습니다.

항등식은 나머지의 차수와 공통인수에 대한 이해가 중요하고, 이차함수는 그래프와 구간의 위치를 읽는 능력이 중요합니다. 복소수로 분류된 문항은 19번이지만 4번에서도 허근의 거듭제곱을 다룹니다. 단원 표를 학습 순서의 기준으로 쓰되 서로 연결되는 개념까지 묶어 복습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 증가와 출제 중심의 이동

작년과 올해는 모두 수학(상)입니다. 자동 분류 기준 쉬움 문항 수는 같고 보통은 줄었으며 어려움은 늘었습니다. 총 문항 수와 서술·단답형도 늘어, 기본 문항을 안정적으로 처리하면서 복합 조건을 다룰 여유를 확보하는 연습이 필요합니다.

작년의 최다 단원은 항등식이었고 올해는 다항식입니다. 다항식은 작년 4문항에서 올해 6문항, 여러가지방정식은 3문항에서 5문항으로 늘었습니다. 항등식은 5문항에서 4문항으로 줄었지만 올해 9·11·21번처럼 어려움으로 분류된 문제를 포함하므로 단원 수만 보고 대비를 줄이기는 어렵습니다.

작년 어려움 문항은 객관식 14·15번과 서술·단답형 18·19·20번이었습니다. 올해는 객관식 9번부터 등장하고 서술·단답형 17번에도 배치되어 있습니다. 다음 시험을 준비할 때는 후반 번호에만 긴 시간을 남기는 방식보다, 전체를 훑어 기본형을 확보하고 조건이 복합적인 문항으로 돌아오는 순서를 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건의 연결 과정과 검토할 지점을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 첫 식을 세운 뒤 표현을 다시 바꾸는 단계가 필요합니다. 중간에 얻은 관계를 무작정 전개하지 말고 최종적으로 필요한 양과 연결되는지 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 연산과 출발점이 보이는 문제를 먼저 처리하세요. 9번에서 막혀도 뒤의 10번을 확인하고, 서술·단답형에서는 16·20번의 기본 구조를 먼저 살펴보세요. 고정된 시간 비율을 정하기보다 연습 중 식을 세우는 데 걸린 시간과 계산 시간을 나누어 기록하면 자신에게 맞는 순서를 찾기 좋습니다.

계산 전 확인할 조건을 문항 옆에 짧게 남기세요. 3번의 해의 쌍, 6번의 실근과 허근, 12번의 서로 다른 교점은 세는 대상 자체가 중요합니다. 11번은 나머지의 차수, 15번은 실수 계수와 중근 조건을 먼저 적어 두면 불필요한 전개를 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 범위와 실제 가능성을 확인하세요. 18번은 끝점을 고르는 기준이 바뀌는 경계, 19번은 지수별 허용 범위, 21번은 정수 조건이 핵심입니다. 17번의 도형 계산에서는 부피에 쓰는 높이와 면 위의 높이를 구분하고, 단순 계산 문항에서는 괄호와 부호를 다시 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 동류항 정리, 나눗셈 관계, 인수분해를 먼저 정확하게 연습하세요. 빠진 차수와 나머지 부호를 점검하는 습관을 들이세요(1·2·16번 대비).
2. 판별식과 근과 계수의 관계를 복습하고 연립방정식의 해 조건으로 확장하세요. 어느 변수에 관한 방정식인지 먼저 표시하세요(3·5·10·20번 대비).
3. 나머지의 차수를 정한 뒤 인수 구조를 보존하는 연습을 하세요. 여러 조건을 같은 다항식에 모으고 정수 조건까지 연결하세요(7·9·11·21번 대비).
4. 공통부분 치환, 켤레근, 거듭제곱의 주기를 구별해 정리하세요. 변형 뒤에는 원래 근이나 지수의 범위로 돌아와 확인하세요(4·6·15·19번 대비).
5. 곱셈 공식을 대칭식 변형과 도형 관계에 적용하세요. 정의된 식의 부호 대입과 각 진술의 조건도 따로 점검하세요(13·14·17번 대비).
6. 이차함수의 축과 구간을 먼저 그린 뒤 교점의 중복과 이동 구간을 연습하세요. 경우를 나누는 경계와 극값 후보를 함께 적으세요(8·12·18번 대비).