자양고등학교
2022년 1학년 1학기 중간고사

자양고 1학년 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

자양고등학교는 서울 광진구에 있습니다. 확인되는 출제 범위는 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 여러가지방정식, 이차함수입니다. 다항식의 사칙연산에서 시작해 나머지정리, 근과 계수의 관계, 그래프의 접선과 최대·최소까지 이어집니다.

기본 공식의 적용과 조건을 해석하는 문항이 함께 있습니다. 같은 나머지정리라도 다항식의 나머지를 구하는 문제와 정수의 나눗셈으로 옮기는 문제의 마무리는 다릅니다. 이차방정식도 판별식 계산에서 끝나는 유형과 매개변수의 가능한 값을 검증해야 하는 유형을 구별해야 합니다.

서술·단답형에서는 조립제법, 켤레근, 중근, 접선, 도형의 최댓값을 두루 확인합니다. 답을 얻는 계산뿐 아니라 왜 그 방법을 쓰는지 설명할 수 있어야 합니다. 풀이를 복습할 때에는 첫 조건을 식으로 바꾸는 문장과 마지막 후보를 검토하는 문장을 따로 표시해 보세요.

난이도 분포 — 중간에 섞인 어려움 문항과 서술형의 조건 처리

쉬움 문항은 1·3·7·10·14번입니다. 다항식의 연산, 공통부분 치환, 음수의 제곱근, 판별식과 교점 개수처럼 기본 개념을 직접 적용하는 유형입니다. 시험 초반에만 배치된 것이 아니므로 전체를 훑으며 익숙한 유형을 확보하는 운영이 가능합니다.

보통 문항에서는 기본 도구를 연결하는 능력이 필요합니다. 6번의 중복 인수 조건, 13번의 제한된 범위에서의 최솟값, 18번의 나누는 식 변경은 공식 하나를 기억하는 것만으로 마무리하기 어렵습니다. 풀이 과정에서 무엇이 유지되고 무엇이 바뀌는지 확인하세요.

어려움 문항은 특정 마지막 구간에만 몰리지 않습니다. 8·9번의 복소수 조건 해석과 11번의 근과 계수 활용을 지나 16번의 허근 성질, 17·19·21번의 서술로 이어집니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며, 개인별 체감과 같다고 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 이차방정식을 중심으로 이어지는 대수와 함수

가장 많은 이차방정식은 10·11·12·19·20번입니다. 판별식으로 근의 종류를 판단하는 기본형에서 근의 대칭식, 자연수 범위, 중근 조건, 켤레근을 이용한 방정식 작성으로 확장됩니다. 근을 직접 구하기 전에 합과 곱으로 필요한 정보를 얻을 수 있는지 살펴보세요.

다항식과 항등식은 연산의 바탕을 점검합니다. 3번은 반복되는 부분을 치환하고, 4·5번은 함숫값 조건을 인수와 나머지로 바꿉니다. 6번은 같은 인수가 거듭 포함되는 조건을 확인하고, 17·18번은 나눗셈의 형태를 바꾸어도 성립하는 관계를 추적해야 합니다.

복소수와 여러가지방정식에서는 켤레복소수와 허근의 성질이 연결됩니다. 이차함수는 13·14번의 축·판별식에서 21번의 접선, 22번의 도형 최적화로 이어집니다. 단원별 공식을 따로 외우기보다 판별식과 근과 계수의 관계가 서로 다른 상황에서 어떻게 쓰이는지 묶어서 연습하세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 광진구의 문항 구성과 서술 부담

같은 2022학년도 1학년 1학기 중간고사 수학(상)을 치른 광진구 학교들과 견주면, 자양고는 총 22문항으로 지역 평균 21.5문항과 가까운 구성입니다. 서술·단답형은 6문항으로 평균 4.7문항보다 많아, 풀이를 직접 정리하는 연습의 비중을 충분히 두는 것이 좋습니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 36%로 지역 평균 42%보다 낮으며, 어려움 비율 순위는 7개교 중 6위입니다. 이 비율만으로 실제 시험의 체감 난도를 확정할 수는 없습니다. 자양고에서는 중간에 흩어진 어려움 문항과 서술·단답형을 오가며 풀 수 있는지까지 점검해야 합니다.

가장 많은 단원은 학교마다 다릅니다. 이차함수가 가장 많은 학교들이 있는 가운데 자양고는 이차방정식이 중심입니다. 이웃 학교 문제를 활용할 때에도 자양고의 근과 계수, 중근, 켤레근 유형을 먼저 정리하고, 접선과 도형 최대·최소까지 이어서 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산으로 얻은 중간 결과가 최종 요구와 다르다는 데 있습니다. 후보의 비교, 다른 실근의 배제, 접점으로의 복원까지 마무리하는 연습을 하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 연산과 판별식처럼 출발점이 바로 보이는 문항을 먼저 확보하세요. 5번이나 8·9번에서 조건 정리가 길어지면 표시하고 뒤의 기본형을 확인하는 편이 좋습니다. 쉬움 문항이 중간에도 있으므로 객관식을 번호 순서대로 모두 끝내야 한다는 부담을 줄여 보세요.

서술·단답형을 확인할 시간도 따로 남겨 두세요. 18번은 조립제법과 몫의 조정, 20번은 켤레근과 새 방정식의 작성처럼 단계가 분명합니다. 19·21번에서 오래 멈추기 전에 이 문항들의 풀이 구조를 살펴보고, 연습에서는 계산 시간과 조건을 해석하는 시간을 나누어 기록하세요.

마지막 점검에서는 부호와 범위를 우선 확인하세요. 7번은 음수의 제곱근, 9번은 자연수 성분, 10·12번은 경계와 정수 범위, 17번은 정수 나머지의 범위가 중요합니다. 22번은 도형에서 얻은 변수 범위 안에 꼭짓점이 놓이는지 확인해야 최댓값 논리가 완성됩니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항식의 부호 처리와 곱셈 공식, 공통부분 치환부터 정리하세요. 전개 전에 식을 묶어 계산을 줄일 수 있는지 살펴보세요(1·2·3번 대비).
2. 나머지와 인수 조건을 나눗셈 등식으로 표현하세요. 중복 인수와 나누는 식의 상수배 변경도 함께 연습하세요(4·5·6·17·18번 대비).
3. 복소수는 근호 처리, 실수부·허수부 비교, 자연수 후보 검토를 구별해 복습하세요. 조건을 적용한 순서를 적어 보세요(7·8·9번 대비).
4. 판별식과 근과 계수의 관계를 묶어 연습하세요. 분모 조건과 정수 범위, 남은 인수의 실근 여부를 끝까지 확인하세요(10·11·12·19번 대비).
5. 켤레근과 허근의 성질을 정리하세요. 고차방정식을 인수분해한 뒤 필요한 근이 속한 이차식을 고르는 연습으로 연결하세요(15·16·20번 대비).
6. 이차함수는 축과 구간, 교점, 접선 순서로 복습하세요. 도형 문제에서는 변수 범위를 세운 뒤 최대·최소를 판단하세요(13·14·21·22번 대비).