문정고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

문정고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

문정고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 도함수의 부호로 함수의 변화를 파악하는 기본 개념에서 넓이와 운동의 해석까지 이어집니다.

기본적인 적분과 미정계수 결정만으로 끝나지 않는 구성입니다. 도함수의 그래프로 원함수의 증가·감소를 판단하고, 적분을 포함한 식을 미분해 새 함수의 변화를 살펴야 합니다. 같은 그래프라도 무엇을 나타내는지 확인하는 과정이 풀이의 출발점입니다.

서술·단답형에도 자동 분류 기준 쉬움인 16번이 있고, 보통 문항이 후반까지 이어집니다. 문항 순서만으로 부담을 판단하지 말고 전체를 훑어보세요. 식을 세우는 이유와 후보를 제외하는 조건을 짧게 남기는 연습이 계산 연습만큼 필요합니다.

난이도 분포 — 보통 문항 중심, 고난도는 분산 배치

쉬움은 1·2·16번입니다. 도함수 그래프의 부호 읽기, 접선의 기울기에서 원함수 복원하기, 극값 조건으로 계수 정하기가 기본 점검 대상입니다. 도함수가 영이 되는 지점과 실제 극값을 갖는 지점을 구별하지 못하면 기본형에서도 실수가 생깁니다.

보통 문항의 비중이 가장 큽니다. 3·6·7번은 대칭 구간의 적분과 절댓값, 속도 그래프의 면적처럼 계산을 줄이는 해석이 중요합니다. 12·14·17번은 미분가능성과 증가·감소의 조건을 정확히 구분해야 하므로 단순 대입으로 판단하지 마세요.

어려움은 11·13·15·20번입니다. 앞의 계산 결과를 다음 조건 해석에 연결해야 하며, 특히 13번은 구간에 따른 넓이 변화, 20번은 출발 이후라는 범위가 부담을 만듭니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며, 각 학생의 체감 난도를 확정하는 수치는 아닙니다.

출제 단원 — 도함수의 활용과 적분 해석의 연결

도함수의활용은 그래프의 증가·감소에서 실생활 최대·최소, 항등적인 부등식, 절댓값 함수의 교점 개수까지 다룹니다. 자동 분류 기준 어려움 문항은 없지만, 출제 비중이 가장 크므로 극값의 정의와 도함수의 부호표를 먼저 안정시켜야 합니다.

정적분은 대칭성을 이용한 계산뿐 아니라 적분이 포함된 식을 함수로 보는 관점이 필요합니다. 9번은 극소 조건과 곱의 미분을, 10번은 다항식의 차수와 적분 함수의 미분을 연결합니다. 15번에서는 원래 함수 전체를 구하기 전에 새 함수의 도함수를 정리하는 편이 효율적입니다.

정적분의활용에서는 11·13·20번이 어려움으로 분류되어 있습니다. 넓이 문제는 위아래 관계와 적분 경계, 운동 문제는 초기 위치와 시간 범위를 먼저 정하세요. 부정적분의 2·18번도 적분상수를 정한 뒤 함수의 성질을 확인해야 하므로 미분과 분리해 공부하지 않는 것이 좋습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 문항의 증가와 적분 활용의 부담

작년과 올해 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항은 작년 14·18번에서 올해 11·13·15·20번으로 늘었습니다. 전체 문항은 줄었지만 서술·단답 문항은 늘어, 답을 찾는 연습과 함께 조건을 정리해 쓰는 연습이 더 필요합니다.

작년에도 도함수의활용이 가장 많았으며 올해는 그 문항 수가 줄었습니다. 정적분과 정적분의활용은 작년과 올해 각각 5문항, 부정적분은 각각 2문항입니다. 적분 단원의 문항 수가 유지되어도 어려움 문항은 작년 도함수의활용에서 올해 정적분과 정적분의활용으로 옮겨갔다는 점이 차이입니다.

작년의 어려움 문항은 14·18번이었고, 올해는 객관식 후반뿐 아니라 서술·단답형 초반과 마지막에도 배치되어 있습니다. 다음 시험을 준비할 때는 단원별 문제 수만 보고 공부량을 정하지 말고, 넓이와 운동을 함수의 증가·감소 및 교점 개수로 바꾸는 연습을 보강하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 정한 순위가 아니라 조건 처리와 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 새로운 함수를 정의하고 그 함수의 범위를 정해야 한다는 것입니다. 함수 이름 옆에 의미와 범위를 적어 두면 미분·적분을 반복하는 과정에서도 목표를 유지할 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 도함수의 부호와 기본 적분처럼 접근이 바로 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 11·13번에서 넓이 구간 정리가 길어지면 표시하고 서술·단답형까지 확인하는 운영이 좋습니다. 특히 16번은 자동 분류 기준 쉬움이므로 후반에 있다는 이유로 미루지 마세요.

서술·단답형은 핵심 조건을 먼저 식이나 말로 정리하세요. 17번은 도함수가 전체 범위에서 음수가 되지 않는 조건, 18번은 도함수 복원과 적분상수 결정, 19번은 적분값 사이의 관계식이 출발점입니다. 연습에서는 처음 식을 세우는 시간과 계산 시간을 따로 살펴 정체되는 단계를 찾으세요.

검토할 때는 전개를 반복하기보다 범위와 부호를 확인하세요. 6·7번은 절댓값과 부호 있는 적분, 12번은 중근에서의 미분가능성, 14번은 극값 정의의 예외가 핵심입니다. 13번은 이동 구간의 경계, 20번은 출발 이후의 시각 조건을 다시 읽고, 구한 후보가 해당 경우의 조건을 만족하는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 도함수의 부호표와 극값의 정의부터 복습하세요. 미분계수가 영이어도 극값이 아닌 예를 직접 그려 설명해 보세요(1·14·16번 대비).
2. 부정적분으로 원함수를 복원하는 기본형을 익히세요. 그래프나 기울기에서 도함수를 구하고 주어진 함숫값으로 적분상수를 정하세요(2·18번 대비).
3. 최대·최소와 매개변수 조건을 묶어 연습하세요. 정의역의 시작점, 극점, 도함수의 차수가 달라지는 경우를 확인하세요(4·5·8·17번 대비).
4. 대칭 구간의 적분과 절댓값 적분을 구분해 익히세요. 부호가 바뀌는 지점을 표시하고 거리와 변위를 각각 설명하세요(3·6·7·19번 대비).
5. 곱의 미분과 적분으로 정의된 함수의 미분을 연결하세요. 대칭성과 극값 조건을 어느 함수에 적용하는지 표시하세요(9·10·15번 대비).
6. 그래프와 수평선의 교점 개수를 연습한 뒤 넓이 최적화와 운동으로 확장하세요. 교점 높이와 구간 경계를 그림에 함께 표시하세요(11·12·13·20번 대비).