경기여자고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

경기여자고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

경기여자고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 접선과 평균값 정리부터 함수의 증감과 극값, 운동과 적분까지 미분·적분의 연결을 다룹니다.

초반에는 정적분의 성질, 롤의 정리, 접선의 기울기처럼 개념의 기본 의미를 묻습니다. 중반에는 속도 그래프를 위치로 해석하거나 도형의 부피를 함수로 바꾸는 과정이 필요합니다. 공식을 알고 있어도 어떤 양을 미분하거나 적분해야 하는지 먼저 구별해야 합니다.

후반에는 구간마다 다른 식을 하나의 그래프로 연결하는 문제가 두드러집니다. 절댓값을 풀어 쓴 뒤 경계에서 연속성을 확인하고, 도함수의 부호로 전체 개형을 정리해야 합니다. 서술·단답형도 섞여 있으므로 번호만 보고 형식이나 풀이 부담을 짐작하지 마세요.

난이도 분포 — 후반에 모인 조건 해석 문항

쉬움은 1·2·4·11번입니다. 적분 구간을 합치는 성질, 정리의 적용 조건, 적분과 미분계수의 연결, 도함수로 그래프를 읽는 기본기를 확인합니다. 특히 11번은 중간에 배치된 기본형이므로 앞 문항에서 막혀도 계속 넘겨 보며 확보할 문제를 찾으세요.

보통 문항에서는 계산을 시작하기 전의 해석이 중요합니다. 6번은 속도가 사라지는 순간과 운동방향이 바뀌는 순간을 구별하고, 12번은 구간 전체의 부등식을 함수의 최솟값 문제로 바꾸어야 합니다. 19번도 보통으로 분류되어 있어 서술·단답형 전체를 마지막으로 미루는 방식은 피하는 편이 좋습니다.

자동 분류 기준 어려움 구간에서는 절댓값의 분기, 극값의 존재, 제한된 구간에서의 교점 개수가 겹칩니다. 14~18번을 연속해서 풀다가 시간이 길어질 수 있으므로 식을 세운 단계에서 멈췄는지 계산 중인지 구분해 보세요. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도나 문항 간 순위를 뜻하지 않습니다.

출제 단원 — 도함수의활용 중심의 미분·적분 연결

도함수의활용은 기본 정리와 접선부터 최대·최소, 절댓값 함수, 실근 개수까지 폭이 넓습니다. 3·12·13번에서 익힌 기울기와 최적화의 기본을 17·18·21번의 복합 조건으로 확장하는 순서가 좋습니다. 도함수를 구하는 연습과 부호표를 읽는 연습을 함께 하세요.

정적분은 단순 계산에 그치지 않습니다. 9번에서는 도함수의 적분 조건을 함숫값의 관계로 바꾸고, 15·16번에서는 적분으로 정의된 관계를 미분해 그래프를 복원합니다. 적분식이 보이면 바로 전개하기보다 적분 구간과 변수의 위치를 먼저 확인하세요.

정적분의활용은 운동과 반복 구조를 다룹니다. 10·19번은 부호 있는 위치 변화량과 움직인 거리를 구별하는 것이 중요하고, 22번은 반복되는 대상이 어떤 함수인지 찾아야 합니다. 부정적분의 5·8번에서도 적분상수를 조건으로 정하는 과정이 빠지면 함수가 확정되지 않습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움은 줄고 보통 구간은 늘어난 구성

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항은 줄었지만 쉬움도 줄고 보통이 늘었습니다. 따라서 어려움의 개수만으로 시험 전체가 수월해졌다고 판단하기보다, 기본 개념을 조건 해석에 적용하는 중간 단계의 풀이를 안정시키는 것이 필요합니다.

두 시험 모두 도함수의활용이 가장 많으며 올해는 그 비중이 더 커졌습니다. 정적분은 작년 4문항에서 올해 5문항으로, 정적분의활용은 4문항에서 3문항으로, 부정적분은 3문항에서 2문항으로 바뀌었습니다. 공통 단원에서는 증감과 극값을 중심으로 적분 조건을 해석하는 연습을 함께 하세요.

작년 어려움 문항은 9·10·12~15·18~20번이었고, 올해는 14~18·20~22번입니다. 올해는 후반의 연속된 어려움 구간에 대비할 필요가 있습니다. 서술·단답형은 작년 16~20번에서 올해 19·20·22번으로 바뀌었으므로, 형식별로 묶어 풀기보다 전체 문항을 살펴 접근 순서를 정하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표 순위가 아니라 조건 처리 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 식의 변형 후에도 원래 구간 조건이 남는다는 점입니다. 계산 결과 옆에 그 식이 성립하는 범위를 함께 적어 두면 마지막 검토가 쉬워집니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 개념이 바로 보이는 문항을 확보하세요. 14번 이후에서 그래프 분류가 길어지면 표시하고 19번의 운동 문제 등 접근 가능한 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 연습할 때는 시작 식을 세우는 데 걸린 시간과 계산 시간을 나누어 기록해 병목을 찾으세요.

서술·단답형에서는 조건을 적용한 근거를 짧게 남기세요. 19번은 위치 변화와 거리의 적분을 구별하고, 20번은 매개변수 부호별 근 순서를 적어야 합니다. 22번은 반복되는 함수를 먼저 정리하면 긴 구간을 직접 전개하는 계산을 줄일 수 있습니다.

검토 시간에는 경계와 부호를 우선 확인하세요. 2번은 열린구간 안의 후보인지, 6번은 속도 부호가 실제로 바뀌는지, 16번은 꼭짓점이 해당 분기 안에 있는지가 중요합니다. 21번의 교점 중복과 22번의 남은 적분 구간도 따로 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분과 적분의 기본 관계부터 복습하세요. 적분 구간 합치기와 미분계수 형태를 말로 설명해 보세요(1·2·4번 대비).
2. 접선과 부정적분을 연결하세요. 접점·기울기·절편을 구별하고 적분상수를 남겨 조건을 적용하세요(3·5·8번 대비).
3. 속도 부호표와 위치의 누적 변화를 함께 그리세요. 방향 전환, 위치 변화량, 움직인 거리를 각각 구별하세요(6·10·19번 대비).
4. 도함수 부호표로 최댓값·최솟값을 정리하세요. 평균값 정리의 한계와 도형의 정의역도 함께 확인하세요(7·11·12·13번 대비).
5. 조각별 함수와 절댓값은 구간을 먼저 나누세요. 연속 조건, 극값 후보, 매개변수 부호를 차례로 검토하세요(14·16·17·20번 대비).
6. 적분 조건과 근 개수를 그래프로 옮기는 연습을 하세요. 함숫값의 관계와 수평선 교점의 유효 범위를 표시하세요(9·15·18·21번 대비).
7. 반복되는 부분을 분리하는 적분을 마무리하세요. 한 주기의 적분과 남는 구간을 구별해 설명하세요(22번 대비).