경기여자고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

경기여고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

경기여자고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 도함수의 활용, 부정적분, 정적분, 정적분의 활용입니다. 미분으로 함수의 형태를 분석하고 적분으로 누적량을 구하는 기본 개념이 함께 출제되었습니다.

초반에는 정적분 계산, 닫힌구간의 최솟값, 움직인 거리처럼 출발점이 분명한 문제가 있습니다. 이후에는 극한 조건을 인수의 중복으로 바꾸거나, 적분으로 정의된 함수를 미분해 원래 함수의 부호를 추론해야 합니다. 식을 길게 전개하기 전에 조건을 어떤 형태로 바꿀지 정하는 능력이 중요합니다.

같은 미분·적분이라도 물음에 따라 확인할 조건이 다릅니다. 도함수가 영이 되는 점이 모두 극점은 아니며, 속도가 영이 되는 시각이 모두 방향 전환 시각도 아닙니다. 계산 결과를 그래프와 연결해 해석하는 연습이 이 시험의 여러 단원을 함께 준비하는 방법입니다.

난이도 분포 — 후반의 조건 해석에 대비

쉬움 문항은 초반에 배치되어 있습니다. 다만 4번은 거리와 변위의 구별, 6번은 도함수의 부호가 바뀌는지의 확인이 필요합니다. 기본형을 익힐 때부터 계산 과정에 부호표를 붙여 두면 후반 문제에서도 같은 기준을 활용할 수 있습니다.

보통 문항에도 그래프 해석이 포함됩니다. 2번은 평균값 정리를 만족시키는 접점을 찾고, 11번은 접선의 개수를 접점에 관한 방정식으로 바꿉니다. 서술·단답형 19·20번도 보통이므로 객관식 뒤라는 이유로 접근을 미루지 않는 편이 좋습니다.

어려움은 객관식 후반에 집중되지만 14번처럼 보통 문항이 사이에 있습니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 일치한다고 단정할 수 없습니다. 막힌 문항 다음에도 풀 수 있는 문제가 있다는 점을 염두에 두고 전체를 살펴보세요.

출제 단원 — 도함수의 활용과 적분의 연결

도함수의 활용은 전체의 절반을 차지합니다. 최대·최소뿐 아니라 접선의 개수, 방정식의 실근 개수, 운동 방향까지 다룹니다. 모두 미분을 사용하지만 접점의 좌표를 변수로 놓는 경우와 원래 함수의 극값을 비교하는 경우를 구분해야 합니다.

정적분은 단순한 원시함수 계산에 그치지 않습니다. 14번은 극한과 대칭성, 15번은 절댓값 함수의 미분가능성, 18번은 적분으로 정의된 함수의 증가와 최대 조건을 연결합니다. 적분식이 보이면 먼저 미분했을 때 무엇을 알 수 있는지 살펴보세요.

정적분의 활용에서는 넓이와 운동이 함께 나옵니다. 5·13번은 그래프의 위아래를, 4·9·22번은 속도의 부호를 판단해야 합니다. 부정적분 8번도 주어진 관계를 미분한 뒤 다시 적분하므로, 미분과 적분을 오가는 과정에서 상수와 예외점을 놓치지 않는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 문항 수에서 달라진 구성

작년과 올해는 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준으로 쉬움은 같고 보통은 줄었으며 어려움은 늘었습니다. 서술·단답형도 늘었으므로, 문항 수가 같다는 이유로 풀이 부담까지 같다고 판단하기는 어렵습니다.

도함수의 활용은 작년에도 가장 많았습니다. 정적분은 5문항으로 같고, 정적분의 활용은 3문항에서 5문항으로 늘었으며 부정적분은 2문항에서 1문항으로 줄었습니다. 미분의 그래프 해석을 중심에 두되 넓이와 운동에 대한 적분 적용을 함께 준비할 필요가 있습니다.

작년의 어려움은 14~18번과 20~22번에 있었고, 올해는 10번부터 나타납니다. 올해 서술·단답형에서는 19·20번이 보통, 21·22번이 어려움입니다. 다음 시험 대비에서는 객관식 중간의 난도 상승에 흔들리지 않고 접근 가능한 서술·단답형을 먼저 찾는 연습도 해 보세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정한 난도 순위가 아니라 조건 처리 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 영점이 있다는 사실만으로 결론을 내릴 수 없습니다. 영점의 중복, 좌우 부호, 실제 선택되는 그래프를 확인하는 과정을 풀이에 드러내세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 기본형을 정확히 처리하고, 10번 이후 조건 해석이 길어지는 문제에는 표시를 남기세요. 11·14번과 서술·단답형 19·20번의 접근 가능성도 함께 확인하는 것이 좋습니다. 시험 시간이 자료에 없으므로 고정된 분 단위 계획보다 자신의 연습 기록으로 구간별 시간을 정하세요.

풀이를 시작할 때 정의역과 시간 범위를 먼저 표시하세요. 3번은 닫힌구간의 끝점, 12번은 출발 이후의 시간 범위가 중요합니다. 7번의 전 구간 부호 조건을 12번에 그대로 적용하면 필요 이상으로 강한 조건을 만들 수 있습니다. 조건의 적용 범위부터 구별해야 합니다.

마지막 검토에서는 부호와 경계를 확인하세요. 4·9번은 거리와 위치 변화, 6번은 영점과 극점, 19번은 중근과 서로 다른 교점의 구별이 핵심입니다. 20번은 미분하기 전 대입 조건, 21·22번은 경우 분류에서 빠진 경계가 없는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항함수의 미분·적분 기본 계산과 닫힌구간의 최대·최소를 복습하세요. 끝점 대입과 부호표를 습관화하세요(1·3·6번 대비).
2. 평균값 정리와 접선의 개수를 그래프로 설명해 보세요. 접점의 좌표를 변수로 놓는 연습을 이어 가세요(2·11번 대비).
3. 전 구간의 단조 조건과 제한된 시간 범위의 속도 부호 조건을 비교하세요. 축이 범위 안에 있는지부터 판단하세요(7·12번 대비).
4. 함수와 적분 함수의 관계를 미분해 정리하세요. 특수한 값의 대입, 적분상수, 기함수·우함수 조건을 함께 확인하세요(8·14·18·20번 대비).
5. 실근 개수와 중복인수를 그래프에 연결하세요. 극한과 미분가능성 조건이 어떤 중근 구조를 만드는지 설명해 보세요(10·15·16·19·21번 대비).
6. 넓이·위치 변화·거리를 구별해 적분식을 세우세요. 매개변수가 있는 속도식은 근의 순서와 중복부터 정리하세요(4·5·9·13·22번 대비).
7. 큰 값을 택한 함수는 두 그래프를 그린 뒤 실제 남는 부분을 표시하세요. 교점 후보마다 해당 구간의 대소 조건을 검사하세요(17번 대비).