압구정고등학교
2024년 1학년 1학기 기말고사

압구정고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

압구정고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 자료에서 확인되는 단원은 여러가지방정식, 여러가지부등식, 이차함수, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 방정식과 부등식의 해석에서 좌표를 이용한 도형의 계산으로 이어지는 범위입니다.

초반에는 거리, 무게중심, 직선의 기울기, 원의 표준형처럼 기본 개념을 직접 적용합니다. 중반부터는 수직 조건으로 직선을 정한 뒤 넓이를 구하거나, 거리 조건을 자취로 바꾼 뒤 원과의 위치 관계를 판단합니다. 어떤 공식을 쓸지 결정하는 조건 해석이 계산에 앞서야 합니다.

서술·단답형은 기본 부등식부터 원과 현의 관계까지 폭이 넓습니다. 객관식보다 항상 어렵다고 볼 수 없으며, 절편형의 근거를 설명하는 24번처럼 자동 분류 기준 쉬움이어도 설명을 갖춰야 하는 문항이 있습니다. 공식을 아는 것과 그 공식이 성립하는 조건을 쓰는 것을 함께 연습하세요.

난이도 분포 — 기본형 확보와 조건 검토의 균형

자동 분류 기준 쉬움은 객관식 1~7번에 이어 서술·단답형 17·19·23·24번에도 배치되어 있습니다. 거리나 기울기 공식을 정확히 적용하면 접근할 수 있는 구간입니다. 다만 부등식의 끝점 포함 여부, 내분비와 좌표의 대응, 절편을 분모로 쓸 수 있는 조건은 기본형에서도 확인해야 합니다.

보통 문항인 8~15번은 개념을 연결하는 과정이 필요합니다. 11번은 절댓값의 구간 분류와 이차부등식의 공통범위를, 14번은 교점의 좌표와 근과 계수의 관계를 함께 다룹니다. 18·20·21번에서도 후보를 구한 뒤 일치하는 직선이나 실현 불가능한 경우를 제외하는 단계가 남습니다.

어려움은 16·22번입니다. 전자는 내분과 외분을 같은 좌표 관계로 묶어 판단하고, 후자는 원의 중심과 현, 직선의 위치를 차례로 연결합니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 개인의 체감과 같다고 단정할 수 없습니다. 분류가 낮은 문항에서도 조건 하나를 빠뜨리면 풀이를 다시 해야 합니다.

출제 단원 — 직선의방정식을 중심으로 연결되는 좌표도형

가장 많은 직선의방정식은 단순히 직선의 식만 구하는 단원이 아닙니다. 5·10번에서는 절편과 교점을 넓이로 연결하고, 13번에서는 정삼각형의 좌표와 수직 조건을 사용합니다. 18·21번의 점과 직선 사이의 거리는 원의 위치 관계를 다루는 데도 필요한 도구이므로 우선 복습할 가치가 큽니다.

여러가지부등식은 연립일차부등식에서 항상 성립하는 이차부등식, 절댓값과 이차부등식의 결합으로 확장됩니다. 평면좌표에서는 거리와 무게중심을 익힌 뒤 내분·외분의 위치 관계까지 다룹니다. 원의방정식은 표준형 복원에서 접선, 수직이등분선과의 위치 관계, 현의 길이로 이어지므로 기본형과 응용형을 연결해 연습하세요.

여러가지방정식과 이차함수의 문항 수는 상대적으로 적지만 풀이 도구는 다른 단원과 겹칩니다. 9번의 인수분해와 경우 분류, 14번의 근과 계수의 관계는 불필요한 좌표 계산을 줄이는 방법입니다. 단원별 공식 암기 뒤에는 도형 조건에서 어떤 대수 관계를 얻을 수 있는지 설명해 보세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움은 줄고 직선의방정식 비중은 증가

작년과 올해 모두 수학(상)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 6문항에서 2문항으로 줄었고, 총 문항과 서술·단답형 문항은 늘었습니다. 어려움 문항 수가 줄었다는 사실만으로 전체 풀이 시간이 짧아졌다고 볼 수는 없으며, 기본형을 안정적으로 처리하는 속도도 함께 준비해야 합니다.

직선의방정식은 5문항에서 8문항으로 늘었습니다. 여러가지부등식은 6문항에서 5문항, 원의방정식은 6문항에서 4문항으로 줄었고 평면좌표는 4문항으로 같습니다. 여러가지방정식은 1문항에서 2문항이 되었으며 올해에는 이차함수도 1문항 확인됩니다. 직선의 식과 거리 공식을 도형에 적용하는 연습의 우선순위를 높이세요.

작년 어려움은 12~16번과 22번에 있었고 올해는 16·22번에 있습니다. 객관식 후반에 이어지던 어려움 분류가 줄어든 구성이지만, 올해도 해당 문항에서 조건을 연결하는 부담은 남습니다. 기본형을 확보한 뒤 내분·외분의 관계 추론과 원의 현을 이용하는 유형으로 확장하는 학습이 적절합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 선정은 풀이 구조를 근거로 한 분석상 고난도 문항 목록이며 이용자 투표로 확정한 순위는 아닙니다. 자동 분류 기준 어려움은 16·22번뿐입니다. 공통적으로 식을 얻은 뒤 위치나 존재 조건으로 돌아오는 과정이 중요하므로, 복습할 때는 각 후보를 남기거나 제외한 이유를 말로 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본형을 먼저 확보하고 조건 연결이 길어지는 문항에 표시하세요. 16번에서 오래 막히더라도 뒤의 서술·단답형을 확인할 필요가 있습니다. 특히 17·19·23·24번은 자동 분류 기준 쉬움이므로, 22번을 마친 뒤에만 마지막 문항을 보겠다는 운영은 피하는 편이 좋습니다.

거리 조건에서는 절댓값의 경우를 나누는 단계와 후보를 제외하는 단계를 구분해 적으세요. 18번은 평행한 직선을 정할 때 일치를 제외하고, 20번은 연장선의 양쪽 방향을 확인해야 합니다. 15번에서 원과 직선이 만나지 않는 조건은 접하는 경계를 포함하지 않으므로 부등호를 검토하세요.

검토할 때는 전체 계산을 반복하기보다 조건에 집중하세요. 8번의 이차항이 사라지는 경우, 11번의 구간 경계, 21번의 실수해 존재, 24번의 분모 조건을 점검하는 방식입니다. 연습에서는 식을 세우는 시간과 계산 시간을 나누어 기록하면 어느 과정에서 지체되는지 찾을 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거리와 무게중심, 내분점 공식을 좌표의 의미와 함께 복습하세요. 기본 계산 뒤에는 분할비의 대응을 확인하세요(1·3·23번 대비).
2. 두 점과 기울기, 절편으로 직선을 나타내고 서로 같은 식인지 확인하세요. 절편형은 유도 과정과 적용 조건도 설명해 보세요(2·5·24번 대비).
3. 부등식은 수직선에 해를 표시하는 연습부터 시작하세요. 절댓값 구간 분류와 항상 성립하는 조건으로 확장하세요(4·8·11·17·19번 대비).
4. 인수분해와 근과 계수의 관계로 계산을 줄이는 연습을 하세요. 경우를 나누었으면 각 경우에서 요구한 값을 비교하세요(6·9·14번 대비).
5. 수직 조건과 점에서 직선까지의 거리를 도형 문제에 적용하세요. 넓이 계산, 후보 제외, 실수해 존재 확인을 묶어 복습하세요(10·13·18·21번 대비).
6. 내분과 외분은 점의 위치를 먼저 그린 뒤 관계식을 세우세요. 구한 좌표가 원래 위치와 거리 조건에 맞는지 확인하세요(16·20번 대비).
7. 원은 표준형에서 접선과 자취, 현의 길이 순서로 확장하세요. 중심에서 직선까지의 거리와 반지름을 비교하는 그림을 곁들이세요(7·12·15·22번 대비).