한가람고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

한가람고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

한가람고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 범위는 명제, 절대부등식, 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수입니다. 논리와 집합의 관계를 이해하고 함수의 대응 및 그래프 조건을 해석하는 시험입니다.

초반에는 충분조건과 진리집합, 산술평균과 기하평균의 관계, 합성함수의 계산 순서, 역함수의 뜻을 확인합니다. 후반에는 같은 개념을 여러 조건과 결합합니다. 합성함수의 값을 단순히 계산하는 데서 나아가, 주어진 관계를 만족하는 함수 자체를 추론해야 합니다.

서술·단답형이 마지막에만 모여 있지 않다는 점도 유의하세요. 6·9번은 기본 개념과 대응의 개수를 다루고 18번은 그래프로 역함수의 존재 조건을 설명합니다. 긴 계산에 들어가기 전에 무엇을 기준으로 경우를 나눌지 정하는 습관이 중요합니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 함수 추론의 대비

1~9번은 자동 분류 기준 쉬움입니다. 그렇지만 충분조건의 방향, 대우에서의 부정, 일대일함수의 중복 금지처럼 개념을 혼동하면 틀리기 쉬운 요소가 있습니다. 기본형에서는 식을 길게 쓰기보다 정의와 조건을 정확히 확인하는 것이 우선입니다.

10·12·13·14번은 보통으로, 명제의 참이 되는 조건이나 부등식의 등호 성립을 해석합니다. 11번에서 함수의 대응을 추론하다 시간이 길어지면 이후의 명제 문항으로 넘어가세요. 문항 번호가 커질수록 난도가 일관되게 올라가는 구성은 아닙니다.

15~17번과 19·20번에서는 후보의 배제, 그래프의 치역, 교점의 위치를 연결해야 합니다. 18번은 그 사이의 보통 문항입니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없지만, 후반에 조건 정리 시간을 남겨야 할 이유는 분명합니다.

출제 단원 — 명제와 합성함수·역함수가 중심

명제는 진리집합과 충분조건, 명제와 조건의 구별, 대우, 존재 조건, 역, 필요충분조건까지 폭넓게 출제됩니다. 용어를 외우는 것만으로는 부족합니다. 어떤 방향의 함의를 증명해야 하는지 먼저 쓰고, 성립하지 않는 방향에는 반례를 찾는 연습을 하세요.

합성함수와역함수는 기초 계산부터 유한집합에서의 대응 추론까지 이어집니다. 11·15·17번에서는 입력과 출력이 다시 연결되므로, 함수값 하나를 정했을 때 다른 대응이 어떻게 강제되는지 기록해야 합니다. 18번은 같은 역함수 개념을 그래프의 일대일대응 조건으로 옮깁니다.

무리함수와 유리함수는 기본형과 복합형의 차이가 큽니다. 5·8번에서 점근선과 단조성을 확인했다면, 16·19·20번에서는 그래프의 일부를 결합하거나 교점과 거리 조건까지 해석해야 합니다. 공식 암기 뒤에는 그림을 구간별로 나누어 읽는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목 차이를 전제로 본 구성 변화

작년은 수학(하), 올해는 공통수학2로 과목이 다릅니다. 따라서 시험 전체의 단원 비중을 그대로 이어진 변화로 해석하기는 어렵습니다. 자동 분류 기준 어려움은 7문항에서 6문항으로 줄고 쉬움은 4문항에서 9문항으로 늘었지만, 이를 같은 범위에서 난도가 낮아졌다는 뜻으로 단정하지 마세요.

겹치는 단원에서는 합성함수와역함수가 3문항에서 6문항으로 늘었습니다. 함수는 4문항에서 1문항, 무리함수는 4문항에서 3문항, 유리함수는 3문항에서 2문항으로 줄었습니다. 올해는 합성 조건과 역함수의 대응을 추론하는 연습에 더 무게를 둘 근거가 있습니다.

작년의 어려움은 9·12·13·14·19·21·22번으로 객관식과 서술·단답형에 걸쳐 있었습니다. 올해는 11·15·16·17·19·20번이며 모두 객관식입니다. 서술·단답형 수는 줄었지만 후반 객관식의 조건 처리 부담은 남아 있으므로, 기본형을 마친 뒤 함수 대응과 그래프의 경우 분류를 집중적으로 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 중에서 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확정된 난도 순위는 아닙니다. 공통점은 후보를 만든 뒤 원래 조건으로 되돌아가 검사해야 한다는 것입니다. 가능한 대응, 경계 포함, 치환 범위를 풀이 옆에 따로 적어 두세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~9번의 기본형을 정확히 처리하고 11번의 대응 추론이 길어지면 표시 후 넘어가세요. 12~14번의 논리와 부등식 조건을 먼저 확인한 뒤 돌아오는 방식이 가능합니다. 15~17번에 머무르느라 서술·단답형 18번을 보지 못하는 상황도 피해야 합니다.

서술·단답형에서는 계산을 시작하기 전에 판단 기준을 짧게 적어 보세요. 6번은 참·거짓이 확정되는지, 9번은 출력의 중복이 금지되는지, 18번은 전체 정의역에서 일대일대응이 되는지를 확인합니다. 형식 때문에 풀이를 길게 늘이기보다 필요한 조건과 근거를 빠짐없이 연결하세요.

마지막 검토는 계산보다 조건 누락에 집중하세요. 명제에서는 모두와 어떤, 역과 대우의 차이를 확인하고, 부등식에서는 양수 조건과 등호 성립을 점검하세요. 함수에서는 입력과 출력의 방향, 무리함수에서는 정의역과 제곱 전 부호, 그래프에서는 경계점 포함 여부를 다시 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 명제와 조건의 구별부터 진리집합의 포함 관계와 대우까지 정리하세요. 논리 표현을 바꿀 때 연결어와 함의의 방향을 함께 적어 보세요(1·6·7번 대비).
2. 존재 조건과 명제의 역, 필요충분조건을 연습하세요. 반례를 찾거나 구간의 최댓값으로 조건을 바꾸는 이유를 설명해 보세요(10·12·13번 대비).
3. 산술평균과 기하평균의 기본형에서 조건식을 활용하는 형태로 확장하세요. 매번 적용 가능한 양수 조건과 등호 성립 여부를 확인하세요(2·14번 대비).
4. 합성함수의 계산 순서와 일대일 대응표를 익히세요. 함수값 후보를 정할 때 강제되는 다른 대응과 모순을 함께 기록하세요(3·4·9·11·15·17번 대비).
5. 유리함수와 무리함수의 점근선, 정의역, 치역, 단조성을 복습한 뒤 구간별 그래프와 역함수 존재 조건으로 확장하세요(5·8·16·18번 대비).
6. 그래프와 직선의 교점 문제를 연습하세요. 대칭성이나 치환으로 식을 줄인 뒤 실제 그래프 부분과 변수 범위에 맞는 후보만 남기세요(19·20번 대비).