개포고등학교
2023년 2학년 1학기 기말고사

개포고 고2 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

개포고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 삼각함수의 뜻과 그래프, 사인법칙·코사인법칙의 활용, 등차·등비수열과 여러 가지 수열의 합, 수학적귀납법이며 로그함수 문항도 포함됩니다.

단원 이름만 보면 삼각함수와 수열이 중심이지만, 풀이에서는 도형과 식을 서로 연결해야 합니다. 사다리꼴의 선분 길이를 수열로 나타내거나, 삼각형의 넓이로 삼각함수의 주기를 정하는 식입니다. 공식을 외우는 데서 그치지 말고 어느 조건에 적용할지 판단해야 합니다.

서술·단답형은 귀납법 증명, 삼각함수가 포함된 이차방정식의 실근 조건, 새 수열을 정의하는 점화식, 원에 내접한 도형의 넓이를 다룹니다. 객관식 후반에 머무르다가 이 부분을 늦게 시작하면 풀이의 연결 근거를 적을 시간이 부족해질 수 있습니다.

난이도 분포 — 초반 고비와 객관식 후반의 연속 어려움

자동 분류 기준 보통인 1~5번도 조건 확인이 필요합니다. 절댓값이 있는 함수의 주기, 등비중항의 부호, 적립금의 이자 적용 기간처럼 공식을 알고도 틀릴 수 있는 요소가 있습니다. 이 구간에서는 풀이를 짧게 유지하되 조건을 생략하지 않는 것이 중요합니다.

6·7번은 도형의 넓이 분해와 삼각형의 형태 판정이 고비입니다. 이후 8~12번은 다시 보통 구간이므로 앞에서 막혀도 다음 문제로 이동할 여지가 있습니다. 13~16번은 증명 구조, 연립 점화식, 합에 관한 명제, 그래프 교점으로 내용이 계속 바뀌어 접근 전환이 필요합니다.

서술·단답형 17·18번은 보통, 19·20번은 어려움입니다. 자동 분류 기준은 문항의 상대적 특성을 살피는 참고 자료이며, 증명 쓰기에 익숙한지에 따라 실제 풀이 부담은 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 수학적귀납법과 삼각함수·수열의 연결

수학적귀납법 단원에는 귀납 증명뿐 아니라 귀납적으로 정의된 수열도 포함됩니다. 13·17번은 가정에서 다음 단계로 넘어가는 논리, 14·19번은 점화 관계를 익숙한 수열로 바꾸는 능력을 확인합니다. 단원명만 보고 증명 빈칸 연습만 하면 대비가 좁아집니다.

삼각함수그래프는 1·9·11번 모두 보통이지만, 주기 판정에서 교점의 대칭, 넓이와 주기의 연결로 요구가 달라집니다. 삼각함수활용에서는 7·20번이 어려움입니다. 법칙을 바로 대입하기 전에 각과 변의 대응, 원주각과 현의 관계를 표시하는 연습이 도움이 됩니다.

수열의합은 도형에서 항을 만들고, 상황을 식으로 바꾸고, 합에 관한 명제를 검토하는 방향으로 나뉩니다. 로그함수는 16번만 있지만 어려움으로 분류돼 있습니다. 출제 수가 적은 단원도 교점 개수와 경계 조건을 묶으면 시간이 오래 걸릴 수 있습니다.

문항별 정리

난이도 표시는 모두 자동 분류 기준입니다. 각 문항의 핵심 접근과 검산할 조건을 정리했습니다.

작년 시험과 비교 — 어려움 감소와 단원 구성 변화

작년과 올해는 모두 수학I입니다. 총 문항과 서술·단답형이 줄었고, 자동 분류 기준 어려움도 11문항에서 8문항으로 줄었습니다. 다만 올해는 쉬움 문항도 없어 문항 수 감소만으로 시험 중 여유가 충분했다고 판단할 수는 없습니다.

작년에는 등차등비수열이 가장 많았고 삼각함수활용·삼각함수그래프·수학적귀납법이 뒤를 이었습니다. 올해는 수학적귀납법이 가장 많으며 수열의합과 로그함수가 별도 분류에 등장합니다. 단원 분류표의 변화이므로 실제 범위가 그만큼 새로 늘었다고 단정하지 말고 문항 내용을 함께 보세요.

작년의 어려움은 5번과 8~17번에 배치됐고, 올해는 6·7번과 13~16번, 19·20번에 있습니다. 올해 서술·단답형 끝부분까지 대비하려면 귀납 증명뿐 아니라 점화식의 변형과 원을 이용한 도형 풀이를 함께 연습해야 합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 중에서 풀이 전환이 뚜렷한 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 공통점은 조건을 다른 표현으로 옮겨야 다음 계산이 열린다는 것입니다. 막히면 계산을 더 하기 전에 구간표, 새 수열, 도형의 표시 가운데 무엇이 필요한지 점검하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음 풀 때는 1~5번과 8~12번에서 해결 가능한 문제를 확보하세요. 6·7번에서 식의 정리 방향이 보이지 않으면 핵심 표시만 남기고 이동하는 편이 좋습니다. 객관식 후반을 시작하기 전에 서술·단답형 전체를 살펴 증명과 도형 풀이에 쓸 시간을 확보하세요.

17번은 귀납 가정과 다음 단계 사이의 부등식 근거를, 18번은 판별식 조건에서 각의 범위로 돌아가는 과정을 적어야 합니다. 풀이를 머릿속으로만 끝내지 말고 논리의 연결을 답안에 남기세요. 19·20번에 재도전할 때도 이미 구한 초기 정보와 도형 관계를 다시 찾는 시간이 들지 않게 정리해 두세요.

검산에서는 1번의 절댓값과 정의역, 3번의 부호 가능성, 5번의 적립 시점, 11·18번의 구간 끝점을 우선 확인하세요. 15번은 합의 조건이 항마다 성립한다는 뜻인지 구분하고, 16번은 구간 경계의 교점을 빠뜨리거나 겹쳐 세지 않았는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 주기와 그래프부터 정리하세요. 절댓값의 효과, 대칭인 교점, 넓이에서 주기를 얻는 과정을 그림으로 설명하는 연습을 하세요(1·9·11번 대비).
2. 수열의 정의와 일반항을 점검하세요. 등비중항의 부호, 합에서 항을 구하는 방법, 적립 시점과 이자 기간을 따로 쓰는 연습이 우선입니다(3·5·8번 대비).
3. 상황을 항으로 만드는 합 문제를 푸세요. 닮음이나 악수 조건을 식으로 만든 뒤 합의 범위와 소거 후 남는 항을 검산하세요(2·10번 대비).
4. 증명과 명제 판단을 묶어 연습하세요. 귀납 가정을 쓴 위치를 표시하고, 일반 명제가 의심스러우면 조건을 만족하는 반례를 구성해 보세요(13·15·17번 대비).
5. 점화식의 새 표현을 찾으세요. 두 수열의 합과 차, 연속된 항의 곱을 새 수열로 두었을 때 규칙이 단순해지는지 확인하세요(14·19번 대비).
6. 삼각함수와 도형을 연결하세요. 사인법칙·코사인법칙을 선택하는 이유와 넓이비를 쓰는 근거를 말로 설명해 보세요(4·6·7·20번 대비).
7. 마지막으로 구간 조건을 집중 점검하세요. 대칭이동 후 부호 확인에서 시작해 판별식과 삼각함수 범위, 로그함수 교점의 경계 처리로 넓혀 가세요(12·18·16번 대비).