개포고등학교
2022년 2학년 1학기 기말고사

개포고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

개포고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 등차등비수열, 삼각함수활용, 삼각함수그래프, 수학적귀납법, 삼각함수입니다. 삼각함수의 성질을 읽는 문제와 수열의 규칙을 표현하는 문제가 함께 출제되어 있습니다.

공식 적용에 앞서 관계를 발견해야 하는 문항이 눈에 띕니다. 원에 내접한 도형에서는 같은 호에 대한 원주각을 찾고, 접은 도형에서는 보존되는 각과 길이를 확인합니다. 수열에서도 합을 바로 계산하기보다 항의 정수 여부나 도형의 반복 규칙을 먼저 해석해야 합니다.

객관식 후반의 부담이 크지만 서술·단답형 전체가 같은 수준인 것은 아닙니다. 자동 분류 기준 보통인 후반 문항에는 중항, 그래프의 계수, 코사인법칙처럼 출발점이 분명한 유형이 있습니다. 전체 문항을 살핀 뒤 접근 순서를 정하는 연습이 유용한 시험입니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 집중된 조건 해석

쉬움으로 분류된 1번은 양수인 등비수열의 항 사이 관계를 일반항으로 바꾸는 문제입니다. 초반의 보통 문항도 개념 구별은 필요합니다. 3번은 탄젠트 그래프의 정의역과 점근선을, 7번은 부등식의 경계와 자연수 조건을 함께 확인해야 합니다.

5번에서 도형과 이차방정식의 연결이 등장하고, 8~17번에는 귀납법 증명, 수열의 정수 조건, 도형의 점화식 등이 이어집니다. 긴 식을 계산하는 능력뿐 아니라 어떤 관계를 먼저 세울지 결정하는 시간이 필요하므로, 한 문항에 오래 머물면 뒤의 기본형을 놓칠 수 있습니다.

18~23번은 자동 분류 기준 보통이지만 중간 과정이 불필요하다는 뜻은 아닙니다. 19번의 계수 부호, 20번의 시간 단위, 22번의 제한된 정의역처럼 확인할 조건이 있습니다. 난이도 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료가 아니므로 자신의 풀이 시간을 함께 기록하세요.

출제 단원 — 수열과 삼각함수의 연결을 함께 준비

등차등비수열은 기본 일반항에서 출발해 금액의 합, 홀수 번째와 짝수 번째 항의 합, 정수 조건, 역수 수열로 확장됩니다. 특히 9번은 합을 이차식으로 정리한 뒤 자연수 범위에서 같은 값을 갖는 경우를 판단하고, 15번은 공비의 분모 조건과 합의 부호를 연결합니다.

삼각함수활용은 사인법칙과 코사인법칙을 중심으로 넓이와 길이 관계를 해석합니다. 그래프 단원은 주기·점근선·평행이동의 기본 성질뿐 아니라 교점의 순서와 넓이의 최댓값까지 다룹니다. 도형과 그래프 모두 먼저 간단한 그림을 그려 관계를 표시하는 연습이 필요합니다.

수학적귀납법으로 분류된 문항에는 증명 빈칸뿐 아니라 귀납적으로 정의된 수열의 도형 활용도 포함되어 있습니다. 8·11번은 가정이 쓰이는 위치를, 16·17·23번은 현재 상태에서 다음 상태로 넘어가는 규칙을 확인하세요. 단원명만 보고 증명 문제만 준비하면 범위를 좁게 잡게 됩니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표의 순위가 아니라 조건을 연결하는 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 중간 관계를 얻은 뒤 원래 조건으로 검증하는 단계가 필요합니다. 풀이를 복습할 때에는 계산 줄보다 조건을 식으로 바꾼 이유와 후보를 걸러 낸 이유를 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 출발 관계가 보이는 문제부터 확보하세요. 5번에 오래 머물면 표시하고 6·7번을 확인하며, 8~16번에서 접근이 막히더라도 서술·단답형을 미루지 마세요. 18~23번에는 기본 개념에서 시작할 수 있는 문항이 있으므로 전체를 살핀 뒤 남은 시간을 배분하는 편이 좋습니다.

증명과 점화식 문항은 계산 전에 무엇을 가정하고 무엇을 보일지 적으세요. 8·11번은 다음 단계에서 추가되거나 재배열되는 항을 구별하고, 17번은 색별 변화와 전체 개수의 관계를 표로 정리해 보세요. 서술·단답형 연습에서는 관계식을 세운 이유까지 말로 설명할 수 있는지 점검하세요.

마지막 검토는 조건별로 나누어 하세요. 7번은 부등호의 경계, 12번은 주기의 공통 조건과 자연수 범위, 15번은 정수 여부가 핵심입니다. 19번은 계수 부호와 위상의 허용 범위를, 20번은 단위 변환을, 22번은 밑변인 수평선에서 위아래 극값까지의 거리를 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 등차·등비수열의 일반항, 중항, 합을 정리하세요. 항의 번호와 값을 구별하고 역수 수열까지 확장하세요(1·6·18·21번 대비).
2. 삼각함수의 주기·정의역·평행이동을 그래프로 설명하세요. 치환 뒤의 각 범위와 원래 변수의 범위를 함께 적으세요(3·7·19번 대비).
3. 사인법칙과 코사인법칙을 길이의 합·차·곱과 연결하세요. 원주각, 접기, 넓이 비를 먼저 표시하는 훈련을 하세요(2·4·5·10·20번 대비).
4. 주기와 대칭을 수열의 규칙으로 옮기세요. 교점의 홀짝, 여각인 항의 짝, 자연수 범위의 예외를 구분하세요(9·12·13·14번 대비).
5. 귀납법 증명에서 가정과 목표식을 나란히 쓰세요. 부등식의 차 비교와 지수 이동에 따른 부호를 확인하세요(8·11번 대비).
6. 도형의 반복 규칙을 점화식으로 나타내세요. 거리 비와 색별 개수의 변화를 정리하고 곱의 약분과 부분분수까지 연습하세요(16·17·23번 대비).
7. 정수 조건이 붙은 등비수열은 공비를 기약분수로 표현하세요. 분모의 약수 관계와 부분합의 부호 조건을 따로 분석한 뒤 연결하세요(15번 대비).