대원고등학교
2022년 1학년 1학기 중간고사

대원고 1학년 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

대원고등학교는 서울 광진구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 출제 범위는 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 여러가지방정식, 이차함수입니다. 기본 연산을 정확히 하는 것에서 출발해 방정식과 그래프의 관계까지 연결하는 시험입니다.

초반에는 계수 비교, 곱셈 공식, 켤레복소수 계산처럼 출발점이 분명한 문제들이 배치되어 있습니다. 이후에는 최솟값을 새 함수로 보거나 접한다는 조건을 항등식으로 옮기는 등 표현을 바꾸는 과정이 필요합니다. 공식을 알고 있는지와 그 공식을 적용할 형태를 찾는지를 함께 점검해야 합니다.

서술·단답형도 한 가지 개념으로만 끝나지 않습니다. 나머지의 실근 조건, 대칭축과 최댓값·최솟값, 인수정리와 함수의 최댓값이 결합됩니다. 풀이를 연습할 때 계산 줄만 남기지 말고 어떤 조건으로 식을 세웠는지 짧게 설명하는 습관을 들이세요.

난이도 분포 — 중반부터 번갈아 나타나는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 1~4번에 모여 있습니다. 괄호 앞의 부호, 세제곱 공식의 계수, 켤레복소수의 허수부 부호를 정확히 처리하면 다음 구간에 쓸 시간을 확보할 수 있습니다. 익숙한 모양이라는 이유로 확인을 생략하기보다 계산을 짧게 정리하는 방식이 좋습니다.

보통 문항은 객관식 중간과 후반, 서술·단답형 끝부분에 흩어져 있습니다. 7번에서 막혀도 8번의 인수정리, 9번 뒤의 10번 켤레복소수 성질처럼 접근 가능한 문제가 이어집니다. 한 문항의 풀이가 길어진다는 이유로 뒤 문항까지 어렵다고 판단하지 마세요.

어려움은 11·12번과 16~18번처럼 이어지는 구간도 있습니다. 거듭제곱 합의 주기, 도형 조건의 대수화, 나머지의 차수 예외처럼 서로 다른 판단이 필요합니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며, 실제 체감 난도는 각 개념의 숙련도에 따라 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 복소수와 이차함수의 높은 비중

복소수는 단순 계산부터 성질을 활용하는 문제까지 폭이 넓습니다. 4번은 켤레를 포함한 식의 묶음, 10번은 켤레와 곱의 비음수 성질, 11번은 거듭제곱과 합의 반복을 다룹니다. 15·16번까지 대비하려면 무조건 전개하기보다 켤레 관계와 실수 조건을 먼저 표시하는 연습이 필요합니다.

이차함수는 최댓값·최솟값과 접선, 교점의 좌표를 모두 다룹니다. 7번은 최솟값을 나타내는 함수의 최댓값으로 관점을 바꾸고, 9번은 항상 접한다는 조건을 판별식의 항등식으로 옮깁니다. 12번의 넓이와 18번의 대칭·접선 조건까지 보면 그래프를 식으로, 식을 그래프로 바꾸는 능력이 중요합니다.

항등식은 기본 계수 비교에서 인수정리, 수의 나눗셈, 나머지 다항식의 구성으로 확장됩니다. 특히 17번은 나머지가 이차 이하라는 사실과 실근 조건을 함께 사용합니다. 다항식의 공식 변형과 이차방정식의 근과 계수 관계는 다른 단원에도 쓰이므로 기본 문항을 따로 떼어 가볍게 넘기지 마세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 광진구의 동일 조건 시험

광진구에서 같은 2022학년도 1학년 1학기 중간고사 수학(상)을 치른 학교들과 견주면, 대원고는 총 20문항으로 지역 평균 21.8문항보다 적습니다. 서술·단답형도 4문항으로 평균 5.0문항보다 적습니다. 자동 분류 기준 어려움 비율은 40%로 지역 평균 42%보다 낮고, 7개교 중 4위입니다.

많이 나온 단원은 학교마다 다릅니다. 이차함수가 가장 많은 학교들이 있는 한편, 항등식·여러가지방정식·이차방정식이 가장 많은 학교도 있습니다. 대원고는 복소수와 이차함수가 함께 가장 많으므로, 함수의 그래프 해석과 복소수의 성질 활용을 균형 있게 준비하는 것이 좋습니다.

문항 수나 어려움 비율만으로 개인의 풀이 부담을 판단하기는 어렵습니다. 대원고 학생은 복소수의 반복 계산을 주기로 줄이고, 함수의 접선·구간 조건을 식으로 바꾸는 연습을 우선하세요. 다른 학교의 문제를 풀 때도 단원 이름보다 어떤 조건을 연결하는 문제인지 확인하면 보완할 유형을 고르기 쉽습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 풀이의 조건 연결을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 중간 결과를 다음 단계의 대상으로 다시 해석해야 합니다. 단계마다 사용한 조건과 아직 사용하지 않은 조건을 구별하고, 마지막 후보를 처음 조건에 대조하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본 계산과 근과 계수 관계를 안정적으로 처리하세요. 7번에서 새 함수를 세운 뒤 구간 분류가 막히면 표시하고 다음 문제를 확인하는 편이 좋습니다. 중반 이후에도 보통 문항이 이어지므로 전체를 한 번 훑으며 출발점이 보이는 문제를 먼저 확보하세요.

서술·단답형은 끝까지 남겨 두기보다 내용을 일찍 확인하세요. 17·18번의 조건 정리가 길어지더라도 19번은 함수 복원, 20번은 인수분해에 따른 경우 분리로 접근할 수 있습니다. 연습에서는 조건 해석에 쓴 시간과 계산에 쓴 시간을 나누어 기록하면 어디에서 지연되는지 알 수 있습니다.

최종 검토는 부호와 예외를 중심으로 하세요. 5번은 근의 가능한 부호, 10번은 켤레와 곱의 비음수 성질, 16번은 실수부와 허수부가 사라지는 각각의 경우를 확인해야 합니다. 17번의 차수 변화와 18번의 기울기 부호, 20번의 해의 누락도 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 곱셈 공식과 계수 비교를 먼저 정리하세요. 세제곱의 혼합항과 괄호 앞 부호를 확인하고, 주어진 차와 곱으로 식을 표현해 보세요(1·2·3번 대비).
2. 근과 계수 관계로 대칭식을 정리하세요. 근을 직접 구하기 전에 제곱항을 낮추거나 합과 곱으로 바꾸는 길을 찾아보세요(5·6·13·15번 대비).
3. 복소수의 켤레, 거듭제곱의 주기, 제곱이 실수가 되는 조건을 구분해 연습하세요. 계산 뒤에는 매개변수의 범위와 부호를 검토하세요(4·10·11·16번 대비).
4. 인수정리와 나머지정리로 다항식을 구성하세요. 최고차항 계수와 나머지의 차수를 먼저 정하고 차수가 낮아지는 예외도 확인하세요(8·14·17·19번 대비).
5. 이차함수는 축과 구간의 위치를 그린 뒤 최대·최소를 판단하세요. 접선은 중근 조건으로, 교점으로 만든 도형은 좌표 차이로 옮겨 보세요(7·9·12·18번 대비).
6. 서술 연습에서는 경우를 나눈 근거와 후보 검토를 함께 쓰세요. 구간 조건, 차수 변화, 모든 해의 확인을 풀이 끝에 점검하세요(17·18·19·20번 대비).