문정고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

문정고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

문정고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 직선의방정식, 원의방정식, 도형의이동, 유리함수, 무리함수입니다. 좌표평면에서 위치와 거리를 읽는 능력, 함수의 정의역과 그래프를 해석하는 능력을 함께 확인하는 시험입니다.

도형 문항에서는 여러 개념이 연속해서 쓰입니다. 직선을 이동한 뒤 원과의 교점 조건을 판단하거나, 원을 이동하고 대칭시킨 뒤 접하는 조건을 세우는 식입니다. 식을 길게 전개하기보다 이동 전후의 중심과 기울기가 어떻게 달라지는지 먼저 정리하면 풀이의 방향을 잡기 쉽습니다.

함수 문항도 식의 모양만 외워서는 부족합니다. 약분 전의 정의역을 보존하고, 무리함수의 시작점과 역함수의 대칭성을 이용해야 합니다. 자동 분류 기준 보통에 속하는 문항에서도 조건을 다시 확인하는 과정이 필요하므로, 빠른 계산과 조건 검토를 함께 연습하세요.

난이도 분포 — 객관식 끝에 모인 어려움 문항

쉬움 문항은 1~4번과 10번입니다. 점의 평행이동, 수직인 직선, 원의 넓이 이등분, 점과 직선 사이의 거리 등 기본 성질을 정확히 적용하는 구간입니다. 10번에서는 무리함수의 이동량을 읽고 역함수의 의미로 연결해야 하므로, 함수 안쪽의 계수를 먼저 묶어 보는 습관이 도움이 됩니다.

보통 문항은 도형의 거리와 접선, 이동, 함수의 정의역과 역함수에 걸쳐 있습니다. 12번의 약분 후 제외점, 13번의 거리 합에서 등호 성립, 20번의 치환 변수 범위처럼 계산 결과를 허용 조건에 대조해야 하는 유형이 눈에 띕니다. 분류상 보통이라는 이유로 검토를 줄이지 마세요.

자동 분류 기준 어려움은 14·15번입니다. 넓이를 대칭 관계로 바꾸거나 그래프의 가지별로 교점 수를 판단하는 발상이 필요합니다. 반면 16~20번은 모두 보통이므로, 객관식 마지막에서 풀이가 오래 막히면 서술·단답형으로 넘어가 접근 가능한 문항을 먼저 해결하는 운영이 좋습니다.

출제 단원 — 좌표도형의 비중과 무리함수의 변별 요소

도형의이동은 점의 이동에서 직선과 원의 이동, 대칭을 이용한 거리 합으로 확장됩니다. 직선의방정식은 수직 조건과 거리 공식이 중심이며, 6번에서는 곡선 위의 점과 직선 사이의 최소 거리를 이차식의 최솟값으로 옮깁니다. 이동과 거리 공식을 따로 외운 뒤 끝내기보다 함께 쓰는 유형까지 연결하세요.

원의방정식은 중심과 반지름이 출발점입니다. 5번은 현을 지름으로 보는 최소 원, 7번은 접선과 넓이, 11번은 축에 접하는 중심의 위치, 19번은 자취로 얻은 원과 다른 원 사이의 거리를 다룹니다. 방정식을 세우기 전에 어떤 길이가 반지름이고 어떤 길이가 중심 사이 거리인지 표시하세요.

무리함수에는 자동 분류 기준 어려움 문항이 모두 포함되어 있습니다. 특히 15번은 유리함수와의 교점을 다루므로 단원 이름만으로 풀이 범위를 좁히면 안 됩니다. 유리함수의 12·18번도 정의역과 점근선, 대칭성을 묻기 때문에 함수의 식과 그래프를 함께 정리하는 공부가 필요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 구성은 같고 출제 중심은 이동

작년과 올해는 과목이 수학(하)로 같고 총 문항 수와 서술·단답형 구성도 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 4문항에서 2문항으로 줄고 보통은 11문항에서 13문항으로 늘었습니다. 이 분포만으로 실제 응시자의 체감 난도가 같다고 볼 수는 없지만, 올해는 보통 문항의 정확도를 확보하는 전략이 더 큰 비중을 갖습니다.

작년에는 순열조합이 9문항으로 가장 많았지만 올해는 좌표도형이 중심입니다. 공통 단원인 무리함수는 5문항에서 4문항으로, 유리함수는 4문항에서 2문항으로 줄었습니다. 단원 비중이 달라졌으므로 작년의 구성만 따라가기보다 실제 시험 범위에서 이동·거리·접선의 연결을 준비하세요.

작년의 어려움은 10·12·18·20번으로 객관식과 서술·단답형에 걸쳐 있었고, 올해는 14·15번에 모였습니다. 따라서 객관식 끝부분의 그래프 해석과 별개로 서술·단답형 풀이 시간을 확보하는 연습이 필요합니다. 공통으로 출제된 함수 단원은 정의역과 역함수 조건까지 묶어 복습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인한 난도 순위가 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 특히 20번의 자동 분류는 보통입니다. 공통적으로 대칭이나 증가·감소 관계로 문제를 바꾼 뒤, 바꾼 문제의 조건이 원래 그래프에서도 성립하는지 확인해야 합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~4번 같은 기본형을 정확히 처리하고, 거리 공식과 이동 규칙이 바로 보이는 문항을 이어서 해결하세요. 14·15번에서 발상이 떠오르지 않으면 표시하고 서술·단답형을 확인하는 편이 좋습니다. 연습할 때는 전체 풀이 시간 안에서 마지막 검토 시간을 남기는 방식으로 자신의 소요 시간을 기록하세요.

서술·단답형은 계산 전에 조건을 짧게 써 두세요. 16번은 절댓값의 경우와 매개변수 부호, 17번은 이동 후 중심과 반지름, 18번은 역함수 관계가 출발점입니다. 19번은 자취와 두 원의 위치를 먼저 그리면 거리의 최대·최소에서 반지름을 더하거나 빼는 근거가 분명해집니다.

마지막에는 경계와 제외점을 중심으로 검토하세요. 9번의 서로 다른 교점은 접하는 경계를 제외하고, 12번은 약분 전 정의역을 유지해야 합니다. 15번은 무리함수의 시작점이 포함되는지, 20번은 치환 변수의 범위가 근의 조건에 반영되었는지 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 수직인 직선과 점과 직선 사이의 거리 공식을 복습하세요. 축 위의 점과 절댓값의 경우 구분까지 연결하세요(2·3·4·16번 대비).
2. 점·직선·원의 평행이동과 대칭이동을 순서대로 적는 연습을 하세요. 이동량과 방정식 대입 부호를 구별하세요(1·8·9·17번 대비).
3. 원의 중심과 반지름으로 현, 접선, 자취의 거리 문제를 정리하세요. 먼저 간단한 그림으로 위치 관계를 확인하세요(5·7·11·19번 대비).
4. 거리의 최솟값을 이차식이나 대칭 경로로 바꾸는 유형을 연습하세요. 최솟값이 실제로 달성되는 조건도 설명하세요(6·13번 대비).
5. 유리함수는 약분 전 정의역, 점근선, 대칭 중심과 역함수를 묶어 복습하세요. 식 정리 뒤에도 제외점을 표시하세요(12·18번 대비).
6. 무리함수의 시작점과 역함수 대칭을 익힌 뒤 넓이와 교점 수로 확장하세요. 치환 변수 범위와 경계 포함 여부를 끝까지 점검하세요(10·14·15·20번 대비).