언남고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

언남고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

언남고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이 시험은 부정적분, 정적분, 정적분의 활용, 도함수의 활용을 중심으로 구성됐으며, 함수의 극한 조건으로 다항함수를 결정하는 문항도 포함합니다.

초반에는 부정적분과 미분의 관계, 감소 구간, 높이와 속도처럼 개념을 직접 적용하는 문제가 나옵니다. 이후에는 도함수의 부호를 바탕으로 함수의 전체 모양을 읽고, 매개변수의 조건을 판단하는 문제로 이어집니다. 같은 미분 계산이라도 그 결과를 어디에 사용할지 결정하는 과정이 중요합니다.

서술·단답형을 모두 마지막에 풀겠다는 계획은 조정할 필요가 있습니다. 18~20번은 이익의 최대, 정적분 계산, 두 점의 운동을 다루므로 객관식 후반에 막혔을 때 먼저 접근할 수 있습니다. 반면 21·22번은 조건을 식으로 번역하는 과정까지 답안에 정리할 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1·2·3·5·7·19번입니다. 이 구간은 미분·적분의 기본 관계와 성질을 정확히 적용하는지 확인합니다. 특히 19번은 서술·단답형이므로 뒤에 있다는 이유만으로 접근을 미루지 마세요.

보통 문항인 4·6·9·10·18·20번에서는 계산 전에 해석이 필요합니다. 도함수 그래프와 원함수를 구별하고, 정적분으로 정의한 함수의 변화율을 알아보며, 운동 방향과 위치를 서로 다른 식으로 표현해야 합니다.

어려움 문항은 8번과 11~17번, 21·22번입니다. 객관식 후반에는 극값의 존재 여부, 합성함수의 최댓값, 절댓값 방정식의 실근 개수처럼 판단 과정이 긴 문제가 이어집니다. 자동 분류 기준의 난이도이므로 개인별 체감은 다를 수 있지만, 이 구간에 검토 시간을 남기는 계획이 필요합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용이 절반

도함수의활용은 11문항으로 가장 많습니다. 감소 구간과 속도 같은 기본 적용부터 극값·매개변수·실근 개수까지 폭이 넓습니다. 도함수를 구한 뒤 부호표를 작성하고, 그 부호표가 원함수에 어떤 의미인지 문장으로 설명할 수 있어야 합니다.

정적분의활용은 운동과 넓이로 나뉩니다. 7·8·20번은 속도를 적분해 위치나 이동을 해석하고, 9·14번은 역함수 또는 접선과 곡선 사이의 넓이를 다룹니다. 운동에서는 초기 위치, 넓이에서는 두 그래프의 위아래를 먼저 확인하세요.

정적분 단원도 단순한 원시함수 계산에 그치지 않습니다. 6·10번은 극한과 미분의 정의를 연결하고, 5·19번은 구간의 분할과 대칭성을 활용합니다. 21번은 함수의극한으로 분류되지만 정적분 조건과 다항식 결정이 함께 쓰이므로 단원별 학습 뒤 연결 연습이 필요합니다.

문항별 정리

문항별 난이도는 자동 분류 기준입니다. 아래에는 원문 수치나 답의 값 대신 핵심 접근과 점검할 조건을 정리했습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 중 조건 해석이 여러 단계인 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 공통점은 미분 계산을 끝낸 뒤에도 근의 중복, 경계의 포함 여부, 매개변수의 범위를 다시 확인해야 한다는 점입니다. 풀이를 검토할 때는 계산식보다 경우를 나눈 기준부터 살펴보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~7번의 기본 적용과 9·10번의 개념 연결을 처리하고, 시간이 걸리는 문항에 표시하세요. 8번은 비교적 앞에 있어도 위치와 속도를 오가야 하므로 한 번에 정리되지 않으면 뒤로 미루는 편이 좋습니다. 고정된 풀이 시간보다 조건 정리와 풀이 방향이 잡히는지를 이동 기준으로 삼으세요.

11~17번에서 연속으로 막히면 18~20번 서술·단답형을 먼저 확인하세요. 서술·단답형은 계산뿐 아니라 최대가 되는 이유, 방향을 판단한 근거, 출발 순간을 제외한 이유를 적는 데도 시간이 필요합니다. 21·22번의 조건 정리와 답안 검토 시간도 별도로 남겨 두세요.

운동 문제에서는 양의 시각과 초기 위치, 방향과 위치의 구별을 점검하세요. 극값 문제에서는 도함수의 영점에서 실제 부호가 바뀌는지, 절댓값 문제에서는 경계에서 미분이 가능한지를 확인해야 합니다. 최댓값·최솟값 문제는 정의역 끝점과 내부 후보를 모두 살핀 뒤 원래 매개변수 조건으로 돌아가 검토하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 미분·적분의 기본 관계를 정리하세요. 원시함수의 미분, 도함수의 부호, 적분 구간의 방향을 설명하는 연습부터 시작하세요(1·2·5·19번 대비).
2. 속도와 위치를 구별하세요. 속도의 부호표와 적분한 위치를 나란히 적고, 이동 거리·방향 전환·만남에 필요한 조건을 각각 표시하세요(3·7·8·20번 대비).
3. 정적분과 극한을 연결하세요. 적분으로 정의된 함수를 도입해 차분몫을 미분계수로 읽고, 대칭 조건은 다항식의 계수 관계로 옮기세요(6·10·21번 대비).
4. 증감표로 최대·최소를 판단하세요. 두 함수의 전체 범위 비교, 합성함수의 치역 제한, 정의역 경계와 내부 최소를 차례로 연습하세요(11·12·18·22번 대비).
5. 절댓값과 실근 개수의 경계 사례를 그려 보세요. 중근, 접하는 근, 부호가 바뀌는 근을 구별하고 경우별 결과의 중복을 점검하세요(13·15·16·17번 대비).
6. 넓이 문제는 그림과 식을 함께 정리하세요. 대칭축, 교점, 접선, 두 그래프의 위아래를 표시한 뒤 적분식을 세우세요(9·14번 대비).