언남고등학교
2024년 2학년 2학기 기말고사

언남고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

언남고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 시험은 도함수의 활용부터 부정적분, 정적분과 그 활용까지 다룹니다. 객관식 18문항과 서술·단답형 4문항을 함께 풀어야 하므로 계산 결과뿐 아니라 풀이의 근거를 정리하는 연습도 필요합니다.

초반에는 부정적분의 정의, 가속도, 정적분의 대칭성, 넓이와 위치의 변화량을 확인합니다. 이후에는 같은 개념에 조건을 덧붙입니다. 예를 들어 운동 문항도 단순한 위치 변화에서 내분점의 이동 거리와 방향 전환의 판정으로 확장됩니다.

후반부에서는 주어진 식을 바로 계산하는 접근만으로는 충분하지 않습니다. 도함수 그래프를 원함수의 성질로 옮기거나, 적분 관계에서 함수를 복원하고 다시 넓이를 구해야 합니다. 풀이를 시작할 때 어떤 정보를 먼저 확보할지 정하는 능력이 중요한 시험입니다.

난이도 분포 — 초반 기본형 이후 어려움 구간이 길어집니다

난이도는 자동 분류 기준이며 비중은 반올림한 값입니다. 1~5번은 기본 정의와 계산을 점검하는 구간입니다. 다만 넓이와 위치 변화량은 적분에 절댓값이 필요한지가 다르므로, 쉬움 문항에서도 무엇을 구하는지 먼저 확인해야 합니다.

6~9번은 연속 조건, 단조성, 극대, 곡선 사이 넓이를 다룹니다. 10번에서 교점 개수 해석으로 넘어가고, 11번의 넓이 이등분을 지나면 12~18번이 모두 어려움입니다. 번호 순서대로 끝내려다 한 문항에 오래 머무르는 운영을 피하세요.

19~22번 서술·단답형도 모두 어려움입니다. 속도가 영이 되는 시각과 방향 전환 시각의 차이, 닫힌구간의 최대·최소, 적분 등식의 미분 등 각 문항의 논리를 답안에 남길 시간이 필요합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용과 적분의 활용이 중심입니다

도함수의활용은 가장 많은 9문항입니다. 도함수의 부호가 감소 조건, 극값, 실근의 개수, 운동 방향으로 이어집니다. 같은 증감표를 쓰더라도 무엇을 판정하는지 달라지므로, 도함수의 영점만 구하고 풀이를 멈추지 않는 연습이 필요합니다.

정적분의활용은 7문항으로, 넓이와 운동을 함께 다룹니다. 9번의 구간별 넓이 계산을 익힌 뒤 11번의 이등분 조건과 16번의 같은 넓이 조건으로 확장하세요. 13번은 이동 거리 계산 전에 내분점의 위치와 되돌아오는 시각부터 구해야 합니다.

정적분은 3번의 대칭성뿐 아니라 15·21번의 함수 복원, 18번의 매개변수 범위와 연결됩니다. 부정적분은 문항 수가 적어도 6번의 구간별 적분상수 처리처럼 다른 단원에서 필요한 기초를 확인합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수는 같고 후반 어려움이 늘었습니다

작년과 올해 모두 수학II입니다. 총 문항 수는 같지만 자동 분류 기준 어려움은 10문항에서 12문항으로 늘었고, 서술·단답형은 5문항에서 4문항으로 줄었습니다. 문항 형식이 줄었다고 풀이 부담까지 줄었다고 보기는 어렵습니다.

가장 많은 단원은 도함수의활용으로 같지만 11문항에서 9문항으로 줄었습니다. 정적분의활용은 5문항에서 7문항, 부정적분은 1문항에서 2문항으로 늘었고 정적분은 4문항으로 같습니다. 다음 대비에서는 도함수만 집중하기보다 넓이와 운동을 적분으로 연결하는 연습도 확보하세요.

작년 어려움은 8번부터 나타났고 서술·단답형에서는 21·22번이 해당했습니다. 올해는 10번에서 시작해 12~22번으로 이어지고, 서술·단답형 19~22번 전체가 해당합니다. 후반에 쉬운 문항으로 시간을 회복하기 어려운 배치라는 점을 시간 연습에 반영하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 여기서는 조건을 여러 단계로 연결해야 한다는 점에서 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 공통적으로 계산 전에 그래프의 경계, 미분할 식의 구조, 함수의 차수를 정리해야 합니다. 풀이가 막히면 계산을 반복하기보다 아직 사용하지 않은 조건을 찾아보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~9번의 기본 계산과 조건을 안정적으로 처리하되, 식이 길어지면 개념을 잘못 적용했는지 확인하세요. 10번에서 막히더라도 11번을 살펴보고 넘어갈 수 있도록 표시를 남기세요. 실제 시험 시간이 자료에 없으므로 분 단위 목표보다 자신의 연습 기록을 바탕으로 구간별 소요 시간을 조절하는 편이 적절합니다.

객관식 후반을 모두 해결한 뒤 서술형을 시작하는 방식은 피하는 것이 좋습니다. 19~22번을 미리 훑고 부호표나 조건식부터 세울 수 있는 문항을 골라 답안 작성을 시작하세요. 서술형에서는 계산식만 늘어놓기보다 방향 전환의 이유, 끝점 비교, 연속성의 적용처럼 결론을 정당화하는 문장을 남기세요.

검산할 때는 5번의 위치 변화량과 13번의 이동 거리, 19번의 속도 영점과 방향 전환을 대조하세요. 16번은 두 넓이가 같은 조건이 성립할 교점 배치인지, 18번은 부호 조건의 적용 구간이 어디인지, 21번은 나눗셈에서 제외한 점을 처리했는지 확인하는 것이 효과적입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정의와 기본 계산부터 정리하세요. 적분 결과의 미분 검산, 위치·속도·가속도의 관계, 대칭 구간 적분을 묶어 연습하세요(1·2·3번 대비).
2. 적분상수와 조건 연결을 익히세요. 구간마다 원함수를 구하고 연속 조건으로 연결하는 과정을 문장과 함께 써 보세요(6번 대비).
3. 도함수 부호표를 여러 상황에 적용하세요. 감소 조건, 극값, 방향 전환을 같은 영점 정보에서 어떻게 다르게 판단하는지 비교하세요(7·8·12·14·19·20번 대비).
4. 교점 개수를 그래프로 세세요. 함수의 차를 만들고 수평선의 높이에 따른 접점과 경계 경우를 기록하세요(10·17번 대비).
5. 넓이와 거리를 구간별로 나누세요. 곡선의 위아래, 넓이 이등분, 내분점의 운동, 같은 넓이 조건 순서로 확장하세요(4·5·9·11·13·16번 대비).
6. 적분 등식에서 함수 복원과 매개변수 판단을 연습하세요. 고정 적분의 상수화, 변수 위끝의 미분, 제한 구간 부호 조건, 차수 비교를 구분해 복습하세요(15·18·21·22번 대비).