언남고등학교
2023년 2학년 2학기 중간고사

언남고 고2 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

언남고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이 시험의 출제 단원은 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 그래프에서 극한을 읽는 기본형부터 함수의 조건을 식으로 번역하는 응용형까지 포함합니다.

계산 공식을 아는 것과 그 공식을 쓸 수 있는 조건을 구별해야 하는 시험입니다. 연속성을 확인하는 문항에서도 함숫값과 좌우극한을 따로 살피며, 미분 문항에서는 주어진 극한을 변화율 형태로 정리해야 합니다. 낯선 식의 모양에 가려진 정의를 찾는 연습이 필요합니다.

문항 번호가 커질수록 일괄적으로 어려워지는 구성은 아닙니다. 객관식 후반에서 시간이 걸리더라도 서술·단답형 앞부분에는 접근하기 쉬운 문항이 있습니다. 객관식 완성에만 매달리지 않고 전체 구성을 훑어 풀이 순서를 정하는 편이 좋습니다.

난이도 분포 — 객관식 후반과 서술형 끝부분에 모인 어려움

쉬움 구간에서는 그래프 판독, 미분 공식, 정리의 적용 조건을 빠르고 정확하게 확인해야 합니다. 다만 19번은 평균변화율뿐 아니라 변형된 극한도 다루므로, 쉬움이라는 자동 분류만 보고 풀이 점검을 생략해서는 안 됩니다.

보통 구간의 5·8·10번은 연속과 미분가능성을 구별하는 연결 고리입니다. 11번은 무한대에서의 극한으로 다항식의 형태를 정하고 유한한 점에서의 극한을 해석하므로, 후반 조건 결합형을 풀기 전 확인할 만한 문항입니다.

어려움 10문항은 자동 분류 기준입니다. 12~17번은 곱의 구조, 함수 관계식, 도형의 조건 등 서로 다른 표현을 해석해야 하며, 21~23번은 접선·나머지·좌표기하를 계산으로 옮겨야 합니다. 실제 체감 난도는 어떤 표현에 익숙한지에 따라 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 미분계수와도함수, 함수의극한 중심

미분계수와도함수는 접합점에서의 미분가능성, 곱의 미분, 함수 관계식, 나머지 조건까지 폭넓게 쓰입니다. 도함수를 구하는 계산만 반복하기보다 미분계수의 정의가 숨어 있는 극한식을 직접 변형해 보는 학습이 필요합니다.

함수의극한은 기본 성질뿐 아니라 다항식의 차수 결정과 도형 해석을 포함합니다. 16번처럼 극한으로 함수의 형태를 좁히고 마지막에는 미분계수로 연결하는 문항이 있어, 단원 이름만으로 풀이 도구를 제한하지 않는 것이 좋습니다.

함수의연속에서는 정의역, 절댓값, 분모가 사라지는 지점의 처리가 중요합니다. 도함수의활용에서는 롤의 정리와 평균값 정리의 가정, 접선의 방정식을 확인합니다. 문항 수가 적은 단원도 기본 개념과 응용이 함께 있으므로 빠뜨리지 마세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 각각의 계산보다 조건 사이의 연결을 찾는 데 부담이 있습니다. 어떤 조건이 함수의 형태를 정하고 어떤 조건이 값을 제한하는지 구분해 놓으면 불필요한 전개를 줄일 수 있습니다. 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 해설 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

먼저 그래프 판독과 기본 미분처럼 풀이 방향이 바로 잡히는 문항을 해결하세요. 9번이나 객관식 후반에서 조건 정리가 막히면 사용한 조건과 남은 조건을 짧게 표시하고 이동하는 것이 좋습니다. 다음에 돌아왔을 때 처음부터 다시 읽는 시간을 줄일 수 있습니다.

객관식 12~17번을 모두 끝낸 뒤 서술·단답형을 시작하겠다는 계획은 피하는 편이 좋습니다. 18~20번을 먼저 확인해 풀 수 있는 부분을 확보하고, 21~23번의 식 세우기와 답안 작성 시간을 남기세요. 연습에서는 계산 시간과 조건 정리 시간을 나눠 기록해 어디서 지연되는지 확인하세요.

검토할 때는 5번의 정의역과 별도로 정한 함숫값, 8·9번의 좌우미분계수, 10번의 절댓값 적용 후 극한을 살피세요. 20번은 정리가 보장하는 점이 열린구간에 있어야 하고, 21번은 접점과 외부점을 구별해야 합니다. 23번에서는 길이와 길이의 제곱 중 어떤 양을 정리하는지 끝까지 유지해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 그래프와 정의역부터 확인하세요. 채운 점의 함숫값과 좌우극한을 분리해 적고, 약분 전후의 정의역을 비교합니다(1·5·10번 대비).
2. 극한의 기본 변형을 정리하세요. 극한값을 문자로 두는 방법, 무리식의 치환과 인수분해를 각각 연습합니다(6·18번 대비).
3. 접합점마다 연속과 좌우미분계수를 따로 점검하세요. 조건식으로 정의된 구간을 먼저 확정하는 습관을 들입니다(8·9번 대비).
4. 미분계수의 정의로 읽는 극한을 연습하세요. 기준 함숫값을 더하고 빼며 증분과 분모의 배율을 맞춥니다(11·13·14·16·19번 대비).
5. 곱의 구조와 나머지 조건을 미분에 연결하세요. 전개 전에 공통인수를 찾고, 나눗셈을 항등식으로 쓴 뒤 미분합니다(12·22번 대비).
6. 접선과 좌표기하를 식으로 옮기세요. 접점의 문자 설정, 수직인 직선의 기울기, 거리와 넓이를 단계별로 구분합니다(7·15·21·23번 대비).
7. 마지막에는 연속 조건과 정리의 가정을 설명하는 답안을 작성하세요. 식을 정리한 이유와 구간 조건까지 확인한 뒤 전체 시험을 시간에 맞춰 다시 풀어 보세요(4·17·20번 대비).