숭의여자고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

숭의여고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

숭의여자고등학교는 서울 동작구에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 범위는 도함수의 활용, 부정적분, 정적분, 정적분의 활용입니다. 함수의 증감과 극값에서 출발해 적분으로 정의된 함수, 운동과 넓이까지 이어집니다.

기본형에서도 개념의 구분이 중요합니다. 도함수가 사라지는 지점이 반드시 극점이 되는 것은 아니며, 속도가 사라졌다고 운동 방향이 항상 바뀌는 것도 아닙니다. 적분 계산에 들어가기 전에 무엇의 부호를 살펴야 하는지 정하면 불필요한 식 전개를 줄일 수 있습니다.

서술·단답형은 16~22번입니다. 이 구간에는 계수 결정과 함수 관계 계산뿐 아니라 원기둥의 부피 최적화, 넓이의 일반식을 설명하는 문항도 있습니다. 계산 결과에 이르는 근거를 함께 정리하고, 도형이나 시간에서 정해지는 변수의 범위를 먼저 써 두세요.

난이도 분포 — 초반의 조건 해석과 후반의 도형 연결

자동 분류 기준 쉬움 문항은 평균값 정리, 극값의 존재 조건, 부정적분의 정의와 계산, 대칭을 활용한 넓이입니다. 기본형을 풀 때도 적용 근거를 확인하세요. 특히 3번은 도함수의 근의 존재보다 부호 변화가 핵심이므로 판별식의 경계까지 살펴야 합니다.

보통 문항은 그래프를 통한 실근 개수, 운동, 적분으로 정의된 함수의 최대·최소 등으로 분산되어 있습니다. 9·15번은 적분을 계산하는 데서 끝나지 않고 닫힌구간의 끝값과 내부 후보를 비교해야 합니다. 보통이라는 분류를 계산이 짧다는 뜻으로 받아들이면 검토 시간이 부족할 수 있습니다.

어려움은 마지막 번호에만 모여 있지 않습니다. 2번에서 감소 구간과 극솟값을 연결하고, 13번에서 절댓값으로 바뀐 그래프를 판단합니다. 서술·단답형의 16·19·20번도 먼저 그래프 구조를 정해야 하므로, 막힌 문항 뒤에 풀 수 있는 문제가 남아 있는지 확인하는 운영이 좋습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용을 적분 해석까지 연결

도함수의 활용은 증감표를 여러 상황에 적용하는 단원입니다. 4번은 극값과 수평선으로 실근 개수를 판단하고, 12번은 부등식이 항상 성립한다는 조건을 최솟값으로 바꿉니다. 21번에서는 도형의 제약을 한 변수의 함수로 표현해야 하므로 미분 계산 전에 모델을 세우는 연습이 필요합니다.

정적분의 활용은 대칭, 운동 거리, 접선으로 둘러싸인 넓이, 접하는 사차함수의 넓이까지 이어집니다. 특히 19·20번은 적분할 식이 처음부터 완성되어 있지 않습니다. 접점이나 중근 조건으로 경계를 결정하는 단계가 계산만큼 중요합니다.

부정적분과 정적분의 기본형은 후반 풀이의 기반입니다. 7번은 식을 합친 뒤 인수분해하고, 8번은 적분 구간의 양 끝이 같아지는 대입을 활용하며, 14번은 구간별 적분값의 관계를 정리합니다. 적분 공식과 함께 식을 단순하게 바꾸는 순서를 익혀 두세요.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 어려움 비율과 서술·단답형을 함께 보기

같은 2025학년도 2학년 2학기 기말고사 수학II를 치른 서울 지역 학교들과 비교하면, 숭의여고는 총 22문항으로 지역 평균 21.1문항보다 많고 서술·단답형도 7문항으로 평균 3.9문항보다 많습니다. 반면 자동 분류 기준 어려움 비율은 23%로 지역 평균 55%보다 낮으며, 어려움 비율 순위는 11개교 중 11위입니다.

가장 많은 단원은 여러 학교에서 도함수의활용이며, 잠실여자고등학교는 정적분의활용입니다. 숭의여고에서도 미분의 증감 판단은 적분 함수의 최대·최소와 넓이 해석으로 이어집니다. 어려움 비율만 보고 준비량을 줄이기보다, 서술·단답형에서 정의역과 그래프의 대소를 근거로 쓰는 훈련을 충분히 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건 처리의 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 적분이나 미분 계산 앞에 그래프를 다시 구성하는 단계가 있습니다. 부호가 바뀌는 지점, 접점, 도형의 경계를 먼저 표시하고 식을 세우는 습관을 들이세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 바로 접근할 수 있는 기본형을 먼저 확보하세요. 2번에서 조건 연결이 길어지면 표시하고 뒤의 부정적분 문항 등을 확인하는 편이 좋습니다. 13번에서도 그래프가 바로 잡히지 않으면 재검토 대상으로 남기고, 서술·단답형 전체를 살펴 풀이 순서를 정하세요.

서술·단답형 시간을 따로 남겨 두세요. 17·18번처럼 익숙한 미분·적분 관계로 출발할 수 있는 문제와 19·20번처럼 도형 구성을 먼저 해야 하는 문제를 구별하면 좋습니다. 21·22번은 과정을 서술하므로 변수 범위, 최대가 되는 이유, 위아래 그래프의 관계를 짧게라도 명시하는 연습이 필요합니다.

검토할 때는 계산을 반복하기 전에 조건을 확인하세요. 5번은 속도의 부호 변화, 9번은 절댓값의 구간 분할, 11번은 이동 거리와 변위의 구분이 중요합니다. 15·16번은 닫힌구간의 끝값을 비교했는지, 19번은 이등분선의 범위를 확인했는지, 22번은 넓이가 양수가 되도록 적분 순서를 정했는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 평균값 정리와 도함수의 부호를 복습하세요. 극값이 없는 경우와 감소 구간을 증감표로 설명해 보세요(1·2·3번 대비).
2. 극값을 실근 개수와 부등식으로 연결하세요. 수평선이 접하는 경계와 정의역 안의 최솟값을 구별하세요(4·12·16번 대비).
3. 부정적분의 정의와 적분상수 결정을 정리하세요. 적분식의 단순화와 대입·미분의 순서를 연습하세요(6·7·8·14·18번 대비).
4. 절댓값 그래프와 적분 함수의 최대·최소를 함께 연습하세요. 부호 경계와 구간 끝점을 먼저 표시하세요(9·13·15번 대비).
5. 위치·속도·거리의 관계를 구분하세요. 속도의 근마다 방향이 바뀌는지 조사하고 시간의 범위를 확인하세요(5·11·17번 대비).
6. 대칭과 접점으로 넓이의 경계를 정하세요. 함수 복원과 이등분 조건을 거친 뒤 적분하는 유형으로 확장하세요(10·19·20·22번 대비).
7. 도형의 제약식을 한 변수의 함수로 만드는 연습을 하세요. 길이의 범위와 증감의 근거를 문장으로 설명하세요(21번 대비).