언남고등학교
2024년 2학년 1학기 기말고사

언남고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

언남고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이 회차에서 확인되는 출제 범위는 삼각함수의 도형 활용과 수열입니다. 삼각형의 변과 각의 관계, 등차·등비수열의 일반항과 합, 합의 기호, 귀납적으로 정의된 수열과 수학적귀납법을 함께 준비해야 합니다.

초반에는 등비수열의 항, 합의 기호의 성질, 사인법칙처럼 적용할 개념을 바로 찾을 수 있는 문제가 놓여 있습니다. 그러나 뒤로 갈수록 주어진 조건을 익숙한 형태로 바꾸는 과정이 길어집니다. 단순히 공식을 많이 외우기보다 어떤 조건에서 어느 공식을 쓸지를 설명할 수 있어야 합니다.

서술·단답형도 같은 수준으로 묶이지 않습니다. 18번은 기본적인 등비수열 조건을 다루지만 공비의 부호를 모두 고려해야 하고, 20번은 최솟값의 성립 가능성까지 확인해야 합니다. 번호 순서대로만 풀기보다 각 문항의 출발점을 먼저 찾고 답안을 완성할 순서를 정하는 편이 좋습니다.

난이도 분포 — 중후반에 이어지는 조건 해석

쉬움으로 분류된 앞부분은 계산을 정확하게 마치면서 시간을 확보하는 구간입니다. 다만 2번은 합과 제곱의 관계, 4번은 점화식의 대입 순서, 8번은 변과 끼인각의 대응을 점검해야 합니다. 기본 문항에서도 개념을 혼동하면 계산을 반복하게 됩니다.

7번에서는 보조선을 활용한 삼각비 해석이 필요하고, 10번에서는 절댓값 때문에 합을 나누어야 합니다. 보통 문항도 공식을 한 번 대입하고 끝내는 형태만 있는 것은 아닙니다. 9번을 만났을 때 식의 변형 방향이 보이지 않으면 표시한 뒤 다른 문항으로 이동하세요.

12~17번은 서로 다른 아이디어를 연속해서 요구합니다. 첫째항의 예외, 유리화, 자릿수 계산, 점화식의 역추적, 원의 접선, 자연수 개수 세기로 사고 전환이 이어집니다. 자동 분류 기준 난이도는 준비 순서를 잡는 참고이며, 자신의 풀이가 막히는 개념은 따로 기록해야 합니다.

출제 단원 — 등차등비수열을 중심으로 도형과 합 연결

등차등비수열은 일반항 계산에서 시작해 반복 도형의 넓이, 숫자를 이어 쓴 자리, 합의 대소를 만족하는 자연수 개수, 양수 조건 아래의 최솟값으로 확장됩니다. 기본 공식이 같더라도 무엇을 항으로 삼고 무엇을 세는지를 먼저 결정해야 합니다.

삼각함수활용은 사인법칙과 코사인법칙을 도형 조건과 연결하는 비중이 큽니다. 변과 각의 직접 대응뿐 아니라 접선과 반지름의 수직 관계, 연장선에서 생기는 각, 점이 직선의 어느 쪽에 있는지도 확인해야 합니다. 그림에 표시하지 않은 채 식을 쓰면 각을 잘못 선택하기 쉽습니다.

수열의합에서는 합의 기호를 정리하는 기본기와 일반항 복원, 근호를 포함한 합의 소거가 연결됩니다. 수학적귀납법 단원은 귀납적 정의를 계산하는 문항과 등식을 증명하는 문항을 구분해 연습하세요. 점화식에 값을 넣는 능력만으로 증명의 논리를 대신할 수는 없습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 계산을 시작하기 전에 허용되는 범위를 정해야 한다는 공통점이 있습니다. 17번은 자연수 범위, 20번은 양수 조건, 22번은 점의 위치가 기준입니다. 이용자 투표로 순위가 확인된 것은 아니므로 여기서는 조건 누락 위험을 중심으로 분석상 고난도 문항을 선정했습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 앞부분의 기본 계산을 정확히 마치고, 풀이 방향이 바로 보이는 문항을 우선 확보하세요. 9번처럼 조건 변형이 필요한 문제에서 같은 전개를 반복하고 있다면 잠시 넘어가는 편이 좋습니다. 12~17번에 진입하기 전에 남은 서술·단답형의 요구 사항도 확인해 두세요.

서술·단답형에서는 결론에 이르는 근거를 짧게라도 남기는 연습이 필요합니다. 18번은 공비의 부호별 가능성을, 19번은 구간합의 관계를, 20번은 등호 성립과 양수 조건을 확인하세요. 21번도 인수분해 뒤 가능한 경우를 모두 검토해야 하므로 식을 나누는 과정에서 조건을 잃지 않도록 주의하세요.

검토할 때는 계산을 처음부터 반복하기보다 경계를 점검하세요. 10번의 부호가 바뀌는 항, 12번의 첫째항, 14번의 자릿수 구간, 17번의 자연수 하한, 22번의 도형 배치를 우선 확인하는 방식입니다. 실제 시험 시간에 맞춘 연습에서는 막힌 문항과 돌아온 문항을 표시해 재검토할 여유를 남기세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 일반항과 합의 기본 공식을 조건에서 바로 꺼내 쓰세요. 등비수열은 공비가 음수인 경우와 항 번호에 따른 지수를 함께 확인하세요(1·6·18번 대비).
2. 합의 기호를 전개하고 다시 묶는 연습을 하세요. 합의 차로 항을 복원할 때는 첫째항을 따로 확인하고, 절댓값은 부호 구간을 표시하세요(2·3·10·12번 대비).
3. 반복 도형의 양을 등비수열로 표현한 뒤, 숫자를 이어 쓴 문제는 항의 개수와 자리의 개수를 구분해 표로 정리하세요(11·14·19번 대비).
4. 사인법칙과 코사인법칙의 선택 근거를 말로 설명하고, 보조선·접선·연장선과 점의 위치를 그림에 표시하세요(5·7·8·9·16·21·22번 대비).
5. 부등식의 자연수 해 개수와 최솟값 문제를 연결해 연습하세요. 경계의 포함 여부와 등호 성립 조건을 원래 조건에 되돌려 확인하세요(17·20번 대비).
6. 귀납적 정의는 적용 조건과 첨자 이동을 표로 적고, 증명은 시작 단계·가정·다음 단계의 역할을 구분해 쓰세요. 근호의 합은 유리화 후 소거되는 항을 확인하세요(4·13·15·23번 대비).