중앙고등학교
2024년 2학년 1학기 중간고사

중앙고 고2 1학기 중간 수학I은 어떤 시험인가

중앙고등학교는 서울 종로구에 있습니다. 이 시험은 지수와 로그의 계산에서 지수함수·로그함수, 삼각함수와 그 그래프까지 다룹니다. 객관식에서는 기본 성질을 확인하는 문제와 여러 조건을 연결하는 문제가 함께 나오고, 서술·단답형에서는 부채꼴, 삼각함수의 최대·최소, 로그부등식을 확인합니다.

앞부분에서는 거듭제곱근을 유리수 지수로 바꾸거나 각을 주기 안으로 옮기는 기본기가 쓰입니다. 이후에는 지수·로그 그래프의 대칭을 거리 조건과 연결하고, 삼각함수의 교점이나 절댓값 그래프에서 정보를 읽어야 합니다. 공식을 알고 있는 것과 그 공식을 적용할 구조를 찾아내는 것을 함께 점검하는 시험입니다.

서술·단답형이 모두 자동 분류 기준 어려움에 속하는 구성은 아닙니다. 18번은 쉬움, 19·20번은 보통입니다. 객관식 뒤쪽이 막힌다고 답안 작성을 미루기보다, 부채꼴 공식이나 치환을 활용할 수 있는 서술·단답형을 먼저 확인하는 편이 좋습니다.

난이도 분포 — 객관식 중후반의 해석 부담

자동 분류 기준 쉬움 문항은 지수함수의 증감, 거듭제곱근 계산, 삼각함수의 주기, 로그식 치환 등 기본 개념을 직접 적용하는 유형입니다. 다만 4번의 진수 조건, 7번의 일정 비율 증가처럼 문장을 식으로 옮기는 단계까지 정확해야 합니다. 쉽다는 분류가 조건 확인을 생략해도 된다는 뜻은 아닙니다.

6번에서 대칭을 이용한 역함수 해석이 등장한 뒤, 11~15번에서 자동 분류 기준 어려움 문항이 이어집니다. 교점을 세거나 거리의 최솟값을 해석하는 문제에서 무리하게 식을 전개하면 시간이 늘어날 수 있습니다. 16번과 서술·단답형을 확인한 뒤 이 구간으로 돌아오는 전략을 연습해 보세요.

보통 문항은 기본 계산과 복합 해석을 이어 주는 역할을 합니다. 9·10번에서는 주기를 반영한 범위 안에서 정수 조건을 확인하고, 19·20번에서는 치환 범위나 진수 조건을 끝까지 유지해야 합니다. 풀이 방향을 잡은 뒤 마지막 후보를 걸러내는 검산이 필요합니다.

출제 단원 — 삼각함수그래프가 가장 많은 구성

삼각함수그래프는 부등식, 교점의 개수와 좌표 관계, 절댓값 그래프, 계수 결정, 최대·최소로 출제됐습니다. 같은 그래프 단원 안에서도 요구하는 작업이 다릅니다. 주기만 외우기보다 기준이 되는 점과 대칭축, 치역을 그림에 표시하는 연습이 필요합니다.

로그함수의 6·12번과 지수함수의 13·17번은 자동 분류 기준 어려움입니다. 지수·로그의 역함수 관계, 원점 대칭, 정의역을 나눈 그래프를 조건에 맞게 읽어야 합니다. 계산 문제를 충분히 풀었더라도 그래프와 거리 조건을 연결하는 연습을 따로 해야 하는 이유입니다.

지수 단원도 계산으로만 끝나지 않습니다. 5번은 자연수인 거듭제곱근의 존재를 약수 조건으로, 15번은 근호의 실수 조건을 부호와 홀짝에 따른 경우 분류로 바꾸게 합니다. 계산 법칙이 성립하는 범위를 설명할 수 있어야 응용 문항에서도 방향을 잡을 수 있습니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 종로구의 같은 시험 조건

2024학년도 2학년 1학기 중간고사 수학I을 치른 종로구 학교들과 견주면, 이웃 학교의 평균 문항 수는 21.5문항, 서술·단답형은 평균 2.5문항입니다. 중앙고는 전체 문항 수가 이 평균보다 적고 서술·단답형은 많습니다. 전체 개수만 보고 답안 작성 부담이 작다고 판단하기는 어렵습니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 중앙고가 35%로 이웃 학교 평균 32%보다 높습니다. 어려움 비율 순위는 3개교 중 1위이며, 표에서 경복고와 비율이 같습니다. 이는 분류된 문항 구성의 비교이므로 학생이 느끼는 체감 난도와는 구별해서 읽어야 합니다.

가장 많은 단원은 상명대학교사범대학부속여자고등학교가 지수, 경복고가 삼각함수, 중앙고가 삼각함수그래프입니다. 중앙고를 준비할 때는 삼각함수 값을 계산하는 연습에 더해 주기·대칭·절댓값을 그래프에서 읽고 교점 조건으로 옮기는 연습에 무게를 두세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 여기서는 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 공통점은 계산 전에 가능한 위치와 범위를 정해야 한다는 것입니다. 대칭이나 구간 분류로 얻은 결론이 원래 조건에서도 성립하는지 확인하는 단계까지 연습하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 지수법칙, 주기, 기본 치환으로 방향이 바로 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 6번처럼 초반에 그래프 해석이 필요한 문제가 나오면 대칭 관계가 보이는지 확인하고, 출발점을 못 잡았다면 표시한 뒤 넘어가세요. 쉬운 번호부터 어려운 번호로만 이어지는 시험으로 생각하면 시간 계획이 흔들립니다.

11~15번과 17번에 시간을 모두 쓰기 전에 18~20번의 서술·단답형을 확인하세요. 부채꼴 공식, 치환한 이차함수, 진수 조건을 정리할 수 있다면 풀이를 먼저 작성할 수 있습니다. 연습 때에는 문항별로 막힌 이유를 계산 지연과 해석 지연으로 구분하고, 해석이 막혔을 때 돌아올 기준을 정해 두세요.

마지막 검산에서는 9·10번의 구간 끝과 정수 조건, 15번의 근호 안 부호와 순서쌍 조건, 17번의 경계점 포함 여부를 확인하세요. 19번은 치환 변수의 범위, 20번은 진수가 허용하지 않는 점과 밑에 따른 부등호 방향을 다시 보세요. 계산을 반복하는 것보다 조건을 하나씩 대조하는 검산이 유용합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 지수법칙과 거듭제곱근을 정리하세요. 계산을 마친 뒤 자연수 조건을 약수 관계로 설명하고, 근의 차수에 따른 부호 제한도 적어 보세요(2·5·15번 대비).
2. 로그의 진수 조건과 밑에 따른 증감을 익히세요. 방정식 치환, 일정 비율 증가, 연립부등식 순으로 범위를 확인하는 습관을 만드세요(4·7·20번 대비).
3. 호도법과 일반각을 정리하세요. 부채꼴 공식부터 사분면 조건, 도형의 넓이까지 그림과 식을 함께 써 보세요(3·8·9·18번 대비).
4. 삼각함수의 주기와 대칭축을 그래프에 표시하세요. 한 주기의 부등식 해를 전체 구간으로 옮기고 교점을 대칭인 짝으로 묶어 보세요(10·11·16번 대비).
5. 최대·최소는 허용 범위를 먼저 정하세요. 절댓값으로 접힌 그래프의 부호 경우와 삼각함수 치환 후의 범위를 각각 확인하세요(14·19번 대비).
6. 지수·로그 그래프의 대칭을 거리 조건에 연결하세요. 역함수 관계와 원점 대칭을 구분하고, 최소가 성립하는 위치까지 설명하세요(6·12·13번 대비).
7. 구간별 그래프와 수평선의 교점을 표로 정리하세요. 경계점, 꼭짓점, 점근선을 기준으로 경우를 나눈 뒤 시간을 재며 다시 풀어 보세요(17번 대비).