중앙고등학교
2023년 2학년 1학기 기말고사

중앙고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

중앙고등학교는 서울 종로구에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 범위는 삼각함수의 활용, 등차수열과 등비수열, 수열의 합, 수학적귀납법입니다. 삼각형의 변과 각을 연결하는 문제에서 출발해 수열의 규칙과 합을 해석하는 문제까지 다룹니다.

수열에서는 일반항을 바로 대입하는 방식만으로 충분하지 않습니다. 지수로 표현된 수열의 관계를 읽거나, 주기적으로 반복되는 항을 묶거나, 항의 값별 개수로 합을 바꾸어야 합니다. 어떤 대상을 미지수로 정할지 판단하면 길어 보이는 계산이 짧은 관계식으로 정리됩니다.

삼각함수활용도 법칙의 암기와 조건 확인을 함께 요구합니다. 사인값의 비를 변의 비로 옮기는 기본형에서 삼각형의 성립 여부나 원에 내접하는 사각형의 대각 관계를 확인하는 유형으로 이어집니다. 계산 결과가 원래 도형의 조건을 만족하는지 확인하는 단계까지 연습하세요.

난이도 분포 — 초반의 예외와 후반의 조건 해석

쉬움 문항은 초반의 귀납적 정의와 중항 관계, 삼각형의 기본 법칙, 부분분수의 합 등에 분포합니다. 다만 17번처럼 거리의 합을 구할 때는 자동 분류 기준 쉬움이어도 절댓값의 부호를 확인해야 합니다. 짧은 풀이에서도 조건 하나를 생략하면 계산 전체가 달라질 수 있습니다.

보통 문항은 4·5번, 9~12번, 18번입니다. 외접원과 변의 길이를 연결하거나, 합에서 일반항을 구하고, 주기와 남는 항을 구분하는 과정이 필요합니다. 공식을 알고 있는지에 더해 어느 범위에 그 공식을 적용할 수 있는지 점검하는 구간입니다.

어려움은 6번에서 먼저 등장하고 객관식 끝부분과 서술·단답형에 이어집니다. 13·14번은 분기 조건을 정리하는 부담이 있고, 19·20번은 합의 조건을 다른 표현으로 바꾸는 판단이 중요합니다. 이 분류는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 수치는 아닙니다.

출제 단원 — 수열의합을 중심으로 다양한 표현 연결

가장 비중이 큰 수열의합은 부분분수, 합과 일반항의 관계, 주기, 거듭제곱의 합, 그래프 사이의 거리 등으로 표현이 다양합니다. 같은 합 기호가 나와도 먼저 소거되는 합인지, 반복되는 합인지, 다항식으로 정리할 합인지 구분해야 합니다. 대표 유형을 공식별로만 외우기보다 출발할 구조별로 묶어 복습하세요.

삼각함수활용은 사인법칙과 코사인법칙의 역할을 구별하는 것이 우선입니다. 외접원의 반지름이 주어지면 사인값을 변으로 옮기고, 변과 끼인각이 연결되면 코사인법칙을 검토하세요. 6번에서는 도형의 성립 조건, 16번에서는 내접사각형의 대각 관계가 법칙 적용에 앞섭니다.

등차등비수열과 수학적귀납법에서는 정의를 여러 형태로 읽는 연습이 필요합니다. 5번은 항의 비에서 지수의 차를 읽고, 13번은 뒤 항에서 앞 항으로 거슬러 올라갑니다. 9번의 귀납법 증명은 가정에서 다음 단계로 넘어갈 때 곱하는 양의 부호와 식의 변화를 함께 추적해야 합니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 서울 지역의 출제 구성

같은 2023학년도 2학년 1학기 기말 수학I을 치른 서울 지역 학교들과 견주면, 중앙고의 총 20문항은 지역 평균 20.6문항과 가까우며 서술·단답형 6문항은 평균 3.8문항보다 많습니다. 자동 분류 기준 어려움 비율은 35%로 지역 평균 38%보다 낮고, 비율 순위는 11개교 중 7위입니다. 이 수치와 별개로 후반에 풀이 과정을 정리할 시간을 확보해야 합니다.

가장 많은 단원도 학교마다 다릅니다. 중앙고와 단국대학교사범대학부속고등학교는 수열의합이 중심이며, 다른 학교들은 삼각함수활용이나 등차등비수열, 수학적귀납법 등에 무게가 실려 있습니다. 중앙고를 준비할 때는 이웃 학교의 어려움 비율만 보고 학습량을 정하기보다, 합을 일반항·주기·개수로 바꾸는 연습과 그 근거를 문장으로 적는 연습을 함께 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 식에서 얻은 후보가 곧바로 허용되는 것은 아니라는 점입니다. 분기 범위, 공비의 제한, 최솟값의 존재처럼 원래 조건으로 되돌아가는 검토를 풀이의 마지막 단계로 정해 두세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 구조가 바로 보이는 기본형을 확보하세요. 6번에서 변의 후보를 정리하는 시간이 길어지면 표시하고 7·8번을 확인할 수 있습니다. 객관식 마지막의 13·14번에 오래 머물기 전에 서술·단답형도 훑어 보고, 접근 가능한 17·18번을 먼저 처리하는 순서를 연습하세요.

서술·단답형은 계산을 시작할 틀을 먼저 적으면 진행 상황을 점검하기 쉽습니다. 15번은 일반적인 항의 표현, 16번은 대각 관계와 보조선, 19번은 값별 개수의 정의를 먼저 쓰세요. 20번은 부분합 차를 항의 합으로 옮기는 단계와 증감을 판단하는 단계를 구분해 계산 오류의 위치를 찾으세요.

검토 시간에는 반복 계산보다 조건 누락을 먼저 찾으세요. 10번은 첫째항 예외, 12번은 주기 뒤의 나머지 구간, 13번은 분기 경계, 17번은 거리의 절댓값이 핵심입니다. 도형에서는 변의 양수 조건과 각의 대응을, 수열에서는 첨자의 시작과 끝을 확인하면 검토의 목적이 분명해집니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 중항 관계와 귀납적 정의를 일반항으로 바꾸는 기본형부터 정리하세요. 지수 수열에서는 항의 비와 지수의 차를 구별해 설명하세요(1·2·5번 대비).
2. 사인법칙과 코사인법칙을 조건에 맞게 선택하세요. 변과 각의 대응을 표시한 뒤 외접원과 내접사각형으로 확장하세요(3·4·6·8·16번 대비).
3. 수열의 합을 소거형, 주기형, 다항식형으로 나누어 연습하세요. 첫째항 예외와 주기 뒤에 남는 항을 별도로 적으세요(7·10·11·12·15번 대비).
4. 경우를 나누는 수열은 경계 조건을 먼저 정리하세요. 정방향 계산과 역추적을 번갈아 하고 공비의 부호와 홀짝을 점검하세요(13·14번 대비).
5. 귀납법 증명의 연결 인수와 합의 새로운 표현을 연습하세요. 두 수열의 항별 합, 값별 등장 개수처럼 미지수를 바꾸는 이유를 설명하세요(9·18·19번 대비).
6. 절댓값과 합의 증감은 그래프 또는 항의 부호로 확인하세요. 풀이 뒤에는 구간 경계와 최솟값의 존재 근거를 문장으로 남기세요(17·20번 대비).