장훈고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

장훈고 고1 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

장훈고등학교는 서울 영등포구에 있는 고등학교입니다. 이 시험에서는 명제와 절대부등식, 함수의 기본 성질, 합성함수와 역함수, 유리함수와 무리함수를 다룹니다. 명제의 참·거짓을 집합으로 해석하는 능력과 함수의 그래프를 읽는 능력을 함께 확인합니다.

초반에는 진리집합의 포함 관계, 귀류법, 합성함수 대입처럼 기본 개념을 적용하는 문항이 있습니다. 그러나 후반으로 가면 같은 함수 단원 안에서도 일대일대응의 성립 조건이나 구간별 함수의 치역을 따져야 하므로, 계산 연습만으로는 대응하기 어렵습니다.

서술·단답형에도 기본형과 복합형이 섞여 있습니다. 반례를 찾는 19번과 유리함수의 평행이동을 다루는 21번을 먼저 확인하고, 구간 변화와 그래프의 모양을 분석하는 후반 문항에 시간을 남기는 운영이 적절합니다.

난이도 분포 — 어려움이 절반, 후반 연속 배치

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움 구간에서는 역함수의 함숫값을 원래 함수의 대응으로 바꾸거나, 이동한 그래프에 점을 대입하는 절차를 정확히 수행해야 합니다. 보통 문항에서는 필요·충분조건의 방향이나 부등식의 등호 성립 조건까지 확인합니다.

8번은 명제가 모두 거짓이 되는 조건을 묻기 때문에 앞선 명제 기본형과 사고 방향이 달라집니다. 11·12번에서는 역함수와의 교점, 합성함수의 해 개수를 그래프로 읽어야 하므로 중반부터 풀이 방식의 전환이 필요합니다.

14~18번에는 치역, 고정점, 수평선과의 교점, 역함수 존재 조건 등이 이어집니다. 뒤쪽에 있다고 모두 오래 걸리는 것은 아니므로, 핵심 성질이 보이는 문항부터 해결하고 복잡한 경우 구분은 다시 돌아와 마무리하세요.

출제 단원 — 합성함수와 역함수가 중심

합성함수와역함수는 단순 대입에서 시작해 그래프의 대응을 역추적하고, 치환한 값의 범위를 따지는 유형으로 확장됩니다. 5·6번을 풀 수 있어도 12·15번이 바로 해결되는 것은 아닙니다. 안쪽 함수의 출력이 바깥 함수의 입력이 된다는 구조를 그림과 표로 설명할 수 있어야 합니다.

함수 단원은 자동 분류 기준으로 모두 어려움입니다. 공역과 치역을 구별하고, 각 구간에서 일대일이라는 사실과 함수 전체가 일대일대응이라는 사실을 나누어 확인하는 것이 중요합니다. 무리함수도 평행이동의 기본형에서 절댓값이 결합된 그래프의 교점 분석까지 폭이 넓습니다.

명제는 초반의 기본 점수를 확보하는 축입니다. 절대부등식에서는 산술평균과 기하평균의 관계를 적용할 양수 항을 구성하는 연습이 필요합니다. 문항 수가 적은 유리함수도 21번의 기본형과 22번의 합성함수 해석을 연결해 공부하면 활용 범위가 넓어집니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 영등포구의 함수 중심 구성

같은 2025학년도 1학년 2학기 기말고사 공통수학2를 치른 영등포구 이웃 학교들의 평균은 총 21문항, 서술·단답형 4.5문항, 자동 분류 기준 어려움 비율 38%입니다. 장훈고는 총 24문항과 서술·단답형 6문항으로 풀이해야 할 분량이 더 많고, 어려움 비율도 50%입니다.

자동 분류 기준 어려움 비율은 3개교 중 1위입니다. 여의도고등학교와 관악고등학교는 명제가 가장 많은 단원인 반면, 장훈고는 합성함수와역함수가 중심입니다. 이 차이는 함수의 입력·출력과 치역을 해석하는 연습에 학습 시간을 충분히 배정해야 한다는 점을 보여 줍니다.

지역의 다른 시험을 추가로 풀 때도 총 문항 수만 맞춰 연습하기보다는 장훈고의 구성을 기준으로 복습하세요. 명제 기본형을 정확히 풀고, 함수의 구간 조건을 표시하며, 서술·단답형을 끝까지 작성하는 순서가 이 시험 대비에 적합합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 모두 조건을 식으로 옮기기 전에 그래프의 구조를 정해야 합니다. 자동 분류 기준 어려움에 해당하며, 분석상 고난도 문항으로 선정했습니다. 연습할 때는 계산 전에 정의역, 치역, 구간 경계를 짧게 적어 풀이 방향을 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 명제 기본형과 합성함수 대입, 그래프 이동 등 풀이 절차가 보이는 문항을 안정적으로 해결하세요. 8번에서 오래 멈추면 뒤의 보통 문항까지 놓칠 수 있으므로, 두 명제가 거짓인 조건이 정리되지 않으면 표시하고 다음 문항으로 이동하는 편이 좋습니다.

객관식을 모두 끝낸 뒤 서술·단답형을 시작하는 방식은 피하세요. 19·21번을 미리 살펴 확보할 문항을 정하고, 22번의 정수 조건과 23·24번의 그래프 분석에 쓸 시간을 따로 남겨 두세요. 다시 돌아올 문항에는 계산 결과보다 아직 해결하지 못한 조건을 적어 두면 재시작하기 쉽습니다.

마지막 검토에서는 8번의 구간 끝점, 11번의 제곱 전 부호, 12·15번의 구간 적합성, 17·18·20번의 일대일성과 치역을 확인하세요. 22번은 자연수 조건, 23번은 감소함수에서 끝점 순서, 24번은 경계 높이에서의 교점 중복을 우선 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 진리집합과 명제의 방향부터 정리하세요. 포함 관계, 대우, 반례를 그림으로 나타내고 참인 조건의 부정을 연습하세요(1·2·4·8·19번 대비).
2. 합성함수와 역함수의 입력·출력 대응을 표로 작성하세요. 대입 순서를 익힌 뒤 그래프에서 빠진 대응을 복원해 보세요(5·6·10번 대비).
3. 합성 결과를 중간 출력으로 치환하세요. 고정점이나 목표 높이를 먼저 찾고 원래 입력으로 돌아가면서 구간 조건을 검사하세요(12·15·22번 대비).
4. 일대일대응 문제는 단조성, 각 조각의 치역, 전체 치역 순으로 확인하세요. 축과 정의역의 위치도 함께 표시하세요(17·18·20번 대비).
5. 그래프를 이동하고 수평선과의 교점을 세는 연습을 하세요. 역함수와의 교점 및 절댓값 경계의 특수한 높이를 따로 확인하세요(7·11·16·21·24번 대비).
6. 양수 조건과 등호 성립 조건을 빠짐없이 적고, 움직이는 구간의 최소를 축의 위치로 설명하세요. 마지막에는 시간을 재고 조건 검토까지 마치세요(9·13·23번 대비).