가락고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

가락고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

가락고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 범위는 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 극값과 실근 개수부터 운동, 넓이까지 미분·적분의 해석을 폭넓게 다룹니다.

같은 도함수의 활용이라도 극값을 직접 구하는 문제와 극값의 위치로 매개변수를 제한하는 문제는 접근이 다릅니다. 적분에서도 다항식을 적분하는 계산에 더해, 적분으로 정의한 함수를 미분하거나 넓이 자체를 함수로 만드는 전환이 필요합니다.

서술·단답형 전체를 뒤로 미루기보다 문제의 구조를 먼저 살펴보세요. 18·19번은 자동 분류 기준 보통이며, 증감표와 절댓값의 구간 분할이라는 익숙한 원리로 출발할 수 있습니다. 반면 객관식 17번은 여러 방정식의 근을 함께 검토해야 하므로 풀이 순서를 유연하게 정하는 편이 좋습니다.

난이도 분포 — 기본 계산 뒤에 이어지는 조건 해석

쉬움은 1~4번에 모여 있습니다. 극소 판정, 부정적분과 초기 조건, 정적분의 성질, 높이와 속도의 관계를 확인합니다. 기본형에서도 도함수가 사라지는 지점과 극값을 갖는 지점, 속도와 높이를 구별하는 정확성이 필요합니다.

보통 구간은 계산에 앞서 짧은 해석을 요구합니다. 8·11번은 그래프와 수평선의 교점, 12번은 구간 이동에 따른 적분값의 변화, 15번은 모든 입력에서 성립하는 부등식의 의미를 읽어야 합니다. 계산식이 짧다는 이유로 조건 확인을 생략하지 마세요.

10번에서 어려움이 등장한 뒤 보통 문항과 번갈아 배치됩니다. 16·17번과 20·21번은 조건을 여러 단계로 연결해야 하는 구간입니다. 이 분포는 자동 분류 기준이므로 실제 응시자의 체감 난도나 문항별 난도 순위로 단정할 수는 없습니다.

출제 단원 — 도함수 활용과 적분 해석의 연결

도함수의활용은 극대·극소 계산에만 한정되지 않습니다. 6번은 극값이 없을 조건, 13번은 극값의 위치, 15번은 구간 전체의 부등식, 20번은 조각함수의 증가·감소를 다룹니다. 도함수의 부호를 원함수의 성질로 옮기는 연습이 여러 유형에 공통으로 필요합니다.

정적분의활용에서는 넓이와 운동을 구별해야 합니다. 5·9번은 그래프의 대소와 대칭성, 7·14번은 위치 변화량과 움직인 거리, 21번은 매개변수에 따라 변하는 넓이를 다룹니다. 단원명만 보고 모두 같은 넓이 공식으로 처리하려 하면 구간을 놓치기 쉽습니다.

정적분의 10·16번은 적분이 포함된 등식을 함수 관계로 바꾸는 유형입니다. 부정적분은 2번에 분류되어 있지만 원시함수와 적분상수의 이해는 다른 적분 문항에도 이어집니다. 기본 계산을 복습한 뒤 변수의 역할과 조건의 연결을 따로 연습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수 감소와 어려움 구간 확대

작년과 올해 모두 수학II입니다. 총 문항 수는 줄었지만 자동 분류 기준 어려움은 늘었고, 쉬움과 서술·단답형의 문항 수는 같습니다. 문항 수 감소만으로 풀이 부담이 가벼워졌다고 판단하기는 어렵습니다.

도함수의활용은 작년에도 가장 많았으며 올해 비중이 더 커졌습니다. 정적분은 작년 6문항에서 올해 4문항으로 줄었고, 정적분의활용은 6문항, 부정적분은 1문항으로 같습니다. 적분 계산을 기본으로 유지하면서 증감과 극값의 조건 해석을 보강하는 준비가 적절합니다.

작년의 어려움은 13·16·17·18·20번이었고 올해는 10·13·14·16·17·20·21번입니다. 올해는 어려움이 더 이른 번호에서 시작하고 서술·단답형 마지막에도 이어집니다. 초반부터 난도가 일정하게 올라간다고 예상하기보다, 전체를 살펴 접근 가능한 문항을 먼저 찾는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 해설 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 표현을 바꾸고, 계산 뒤에는 정의역이나 초기 조건으로 돌아가야 합니다. 풀이를 복습할 때 계산량보다 전환이 필요한 지점을 표시해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~4번의 기본형을 정확히 처리하고, 중간에 막히는 문제는 출발 아이디어만 적은 뒤 다음 문항을 확인하세요. 10번이 어렵더라도 11·12번은 자동 분류 기준 보통입니다. 객관식 후반을 모두 해결한 뒤 서술·단답형을 시작하려 하면 18·19번의 풀이 기회를 놓칠 수 있습니다.

운동 문제에서는 구하려는 대상에 표시하세요. 7번의 원점 복귀는 위치 조건이고 이동 거리는 속도의 절댓값을 적분한 양입니다. 14번에서는 두 점 사이 거리의 증감 경계와 한 점의 운동 방향 전환이 다를 수 있습니다. 각각의 기준을 따로 적어 구간 분할의 누락을 막으세요.

검토 시간에는 계산을 전부 반복하기보다 조건을 대조하세요. 13번의 극값 위치는 구간 경계 포함 여부, 15번은 구간 전체에서 성립하는지, 18번은 양 끝값 비교가 남아 있는지를 확인합니다. 20·21번은 경우를 나눈 범위와 최적값 후보가 실제로 허용되는 범위를 마지막에 맞춰 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 도함수의 부호와 원함수의 증감을 연결하세요. 극값이 없는 경우와 도함수에 중근이 있는 경우를 함께 정리하세요(1·6·13번 대비).
2. 부정적분과 정적분의 기본 성질을 복습하세요. 적분상수, 적분 방향, 절댓값의 구간 분할을 구별하세요(2·3·19번 대비).
3. 그래프와 수평선의 교점을 구간별로 세어 보세요. 절댓값으로 접힌 그래프와 여러 방정식의 공통근도 확인하세요(8·11·17번 대비).
4. 속도에서 위치를 구한 뒤 이동 거리로 확장하세요. 위치 차의 부호와 각 점의 속도 부호를 따로 표로 정리하세요(4·7·14번 대비).
5. 최대·최소는 정의역과 끝점을 먼저 확인하세요. 모든 입력에서 성립하는 부등식과 조각함수의 증가 조건으로 확장하세요(15·18·20번 대비).
6. 적분이 포함된 등식에서는 적분변수와 매개변수를 표시하세요. 미분으로 함수 관계를 얻고 원래 적분 조건으로 검증하세요(10·12·16번 대비).
7. 넓이는 교점과 상하 관계를 먼저 그리세요. 대칭성을 활용하는 기본형에서 매개변수에 따른 넓이의 최적화로 이어 가세요(5·9·21번 대비).