세화여자고등학교
2025년 2학년 1학기 기말고사

세화여고 2학년 1학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

세화여자고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 단원은 부정적분, 정적분, 정적분의활용, 도함수의활용, 미분계수와도함수입니다. 적분 중심의 구성이지만 극값과 미분가능성을 함께 활용해야 하므로 미분 단원의 복습도 필요합니다.

정적분 문항이라고 모두 원시함수를 구하는 것은 아닙니다. 고정된 구간의 적분값을 미지수로 놓거나, 적분으로 정의된 함수를 미분해 증감을 살피는 방식이 반복됩니다. 넓이 문항에서도 교점을 구하기 전에 근의 개수 조건으로 매개변수부터 정해야 하는 경우가 있습니다.

객관식과 서술·단답형 모두 조건 해석이 풀이의 방향을 결정합니다. 식을 얻는 데서 멈추지 말고 절댓값을 풀 때의 부호, 서로 다른 근의 중복 여부, 구간의 경계까지 확인하세요. 계산 과정과 조건을 연결하는 문장을 짧게라도 남기는 연습이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 서술·단답형 중반에 이어지는 어려움

쉬움으로 분류된 1번은 부정적분과 미분의 관계, 3번은 닫힌구간에서의 최댓값을 다룹니다. 기본 관계를 정확히 적용하면 접근할 수 있지만 곱의 미분이나 끝점 비교를 빠뜨리면 계산이 맞아도 판단이 달라질 수 있습니다.

보통 문항은 객관식 전반에 분포하며 서술·단답형의 15·21·22번에도 있습니다. 이 구간에서도 절댓값, 적분 방향, 대칭성처럼 풀이를 줄이는 조건을 읽어야 합니다. 막히는 문항이 나왔다고 뒤의 접근 가능한 문항을 함께 미루지 마세요.

자동 분류 기준 어려움 문항은 5·11·14·16·17·18·19·20번입니다. 특히 16~20번은 중근과 교점, 반복되는 구간 구조, 미분가능성, 누적 적분의 영점처럼 서로 다른 해석을 요구합니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 정적분 중심에 결합된 미분과 그래프

정적분은 고정된 적분값의 상수화, 변하는 적분 구간, 절댓값, 대칭성까지 폭넓게 다룹니다. 4·9번에서는 적분값을 상수로 놓는 발상이 유효하고, 10·14·20번에서는 적분으로 정의된 함수의 성질을 읽는 일이 중요합니다. 같은 단원 안에서도 출발 방법을 구별해야 합니다.

정적분의활용은 넓이와 위치 변화로 나뉩니다. 2·6번은 부호와 역함수의 대칭을 활용하고, 17·18번은 교점 조건이나 반복 구조를 먼저 해석해야 합니다. 8·21번에서는 속도를 적분한 결과가 위치 변화라는 점을 분명히 하세요.

도함수의활용은 3·5·11·16번에 있습니다. 최대·최소의 기본형에서 출발해 수평선과의 교점이나 중근의 배치로 확장됩니다. 19번은 별도 단원으로 분류되지만, 도함수의 근을 이용해 미분가능한 지점의 개수를 해석한다는 점에서 함께 복습할 만합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리의 복합성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 영역, 경계, 부호를 정리해야 합니다. 풀이가 길어질 때는 현재 얻은 식이 원래 조건 중 무엇을 반영하는지 적어 조건 누락을 줄이세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 미분이나 기본 적분으로 바로 시작할 수 있는 문항을 확보하세요. 객관식 5번에서 그래프의 경우 분류가 길어지면 표시한 뒤 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 서술·단답형도 16~20번을 순서대로 모두 해결하려 하기보다 15·21·22번의 접근 가능성을 먼저 살펴보세요.

넓이와 정적분의 부호를 구별하는 점검을 습관화하세요. 2·13번은 축 아래 부분의 부호를 바꾸어 넓이를 해석해야 하고, 10번은 적분의 위끝이 아래끝보다 작을 때 방향이 바뀝니다. 18번은 반복되는 넓이를 더한 뒤 실제로 요구한 경계와 맞는지 확인해야 합니다.

근의 개수 문항에서는 접하는 경우와 가로지르는 경우를 나누세요. 16·17번의 서로 다른 근은 중복도를 그대로 세지 않으며, 14번은 이미 정해진 근 이외의 근이 필요한 조건을 놓치기 쉽습니다. 21번은 출발 순간을 제외해야 하고, 19번은 접합점에서 좌우미분계수가 일치하는지 따로 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부정적분과 미분의 관계, 닫힌구간의 최대·최소부터 복습하세요. 곱의 미분과 끝점 비교를 짧고 정확하게 처리하는 연습을 하세요(1·3번 대비).
2. 고정된 정적분을 상수로 놓고 원래 정의에 다시 대입하는 유형을 연습하세요. 구간별 적분값을 미지수로 정리하는 방법도 함께 익히세요(4·9·12번 대비).
3. 절댓값과 대칭성을 부호표로 정리하세요. 부호 있는 적분과 넓이를 분리하고 우함수·기함수로 소거되는 항을 먼저 찾으세요(2·6·13·15·22번 대비).
4. 누적 적분함수를 미분해 증감을 판단하는 문제를 풀어 보세요. 극한을 미분계수로 읽는 유형에서 영점 조건으로 원함수의 부호를 추론하는 유형까지 확장하세요(7·10·14·20번 대비).
5. 도함수의 근과 극값으로 수평선과의 교점을 설명하세요. 중근 후보와 접하는 높이를 표시한 뒤 서로 다른 근의 개수를 검산하세요(5·11·16·17번 대비).
6. 속도의 적분과 반복 구간의 넓이를 구별해 연습하세요. 초기 위치와 출발 이후 조건을 표시하고, 반복 계산은 기본 구간으로 줄이세요(8·18·21번 대비).
7. 절댓값 합성함수는 양수·음수 구간과 접합점을 나누어 미분하세요. 매개변수가 경계를 지날 때 지점의 개수가 어떻게 변하는지 표로 정리하세요(19번 대비).