풍문고등학교
2023년 2학년 2학기 기말고사

풍문고 고2 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

풍문고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 회차는 도함수의 활용부터 정적분과 그 활용까지를 다룹니다. 증가·감소와 극값, 평균값 정리, 정적분으로 정의된 함수, 넓이와 직선 운동이 실제 문항에 포함돼 있습니다.

기본형에서는 미분으로 최솟값을 찾거나 적분으로 넓이를 계산하지만, 응용형에서는 계산 결과의 의미를 다시 해석해야 합니다. 절댓값을 씌운 함수의 미분가능성, 도함수의 절댓값 적분, 수평선과 그래프의 교점 개수처럼 서로 다른 표현을 연결하는 문제가 이어집니다.

서술·단답형은 8문항이며 후반에 모여 있습니다. 앞의 객관식을 순서대로 모두 해결하려고 버티면 후반의 풀이를 정리할 시간이 부족해질 수 있습니다. 문항 형식과 자동 분류 난이도를 함께 보고, 부호표나 구간 분할의 근거를 짧게 남기는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 어려움이 중후반과 서술·단답형에 집중

자동 분류 기준 쉬움은 3·4번입니다. 각각 열차가 정지할 때까지의 이동과 곡선·직선 사이의 넓이를 다룹니다. 계산이 짧더라도 정지 시각을 적분의 끝으로 잡았는지, 위쪽 그래프에서 아래쪽 그래프를 뺐는지를 확인해야 합니다.

보통 문항은 1·2·5·6·7·11·14번입니다. 11번은 절댓값 적분을 구간별로 나눠야 하고, 14번은 닫힌구간의 최솟값을 이용해야 합니다. 보통이라는 분류가 조건 점검을 생략해도 된다는 뜻은 아닙니다.

8~10번에서 그래프 해석의 부담이 커진 뒤, 12번과 후반 서술·단답형으로 어려움이 이어집니다. 특히 15번과 20번은 정적분으로 정의된 함수를 미분한 뒤 극값이나 교점의 변화를 판단해야 합니다. 자동 분류는 복습 순서를 정하는 참고로 활용하세요.

출제 단원 — 도함수의활용이 전체의 절반

도함수의활용은 10문항으로 가장 많습니다. 극값을 갖지 않는 조건부터 부등식의 항상 성립, 평균값 정리, 절댓값 방정식의 실근 개수까지 폭이 넓습니다. 도함수의 근을 찾는 계산과 그 근에서 부호가 바뀌는지를 판단하는 과정을 구별해 공부하세요.

정적분과 정적분의활용은 각각 5문항입니다. 정적분에서는 적분식의 미분과 구간 이동에 따른 적분값의 변화가, 활용에서는 넓이와 운동의 의미가 중요합니다. 분류상 도함수의활용인 9번에도 적분 조건이 들어가므로 단원 이름만으로 필요한 도구를 제한하면 안 됩니다.

운동 문항도 같은 방식으로 처리할 수는 없습니다. 3번은 정지까지의 이동, 6번은 방향 전환과 가속도, 12번은 위치와 원점 사이 거리의 최대, 18번은 속도 법칙이 바뀌는 상황입니다. 구하려는 양이 위치인지 이동 거리인지부터 표시하는 습관이 도움이 됩니다.

문항별 정리

문항별 난이도는 자동 분류 기준입니다. 다음은 원문과 풀이 전체를 옮기지 않고 핵심 개념과 점검할 조건을 정리한 내용입니다.

작년 시험과 비교 — 문항 수는 같고 서술·단답 비중은 증가

작년과 올해 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 8문항에서 11문항으로 늘었고, 서술·단답형도 5문항에서 8문항으로 늘었습니다. 분류상 부담과 풀이를 정리해야 하는 문항의 비중이 함께 커졌다고 볼 수 있습니다.

도함수의활용은 두 해 모두 10문항으로 가장 많습니다. 정적분은 작년 2문항에서 올해 5문항으로 늘었고, 정적분의활용은 6문항에서 5문항으로 줄었습니다. 작년에는 부정적분과 함수의연속도 분류에 포함됐지만 올해 자료는 도함수의활용·정적분·정적분의활용에 집중돼 있습니다.

작년의 어려움은 8~10·12·14~16·20번, 올해는 8~10·12·13·15~20번입니다. 객관식 중반의 고비는 비슷한 위치에 있지만 올해는 후반의 어려움이 더 길게 이어집니다. 대비할 때는 정적분식의 미분과 부호표 작성을 서술 과정까지 연결해 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 계산을 끝낸 뒤 조건을 다시 해석해야 한다는 공통점이 있습니다. 부호가 바뀌는 위치나 경계에서의 교점 수를 별도로 확인하는 과정이 필요합니다. 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 풀이 구조를 기준으로 고른 분석상 고난도 문항입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음 훑을 때 기본 계산으로 진행할 수 있는 문항과 경우 구분이 필요한 문항을 표시하세요. 8~10번에서 해석이 막히면 11번과 뒤의 14번처럼 접근이 선명한 문항을 먼저 살펴보는 방법이 있습니다. 한 문항의 긴 식 전개보다 남은 문항의 출발점을 확보하는 것이 우선입니다.

서술·단답형을 시작할 시간을 미리 남겨 두세요. 13번부터 모두 같은 난이도는 아니며, 17·18번처럼 조건을 단계별로 연결하는 문항도 있습니다. 부호표, 적분 구간을 나눈 이유, 최솟값 비교의 근거를 짧게 적어 두면 검산할 때도 흐름을 복원하기 쉽습니다.

검산은 계산보다 조건부터 하세요. 5번은 엄격한 부등호와 정수 조건, 6번은 속도의 부호 변화, 11번은 해가 속한 구간, 12번은 위치의 절댓값, 16번은 부호 있는 적분과 넓이의 차이가 점검 대상입니다. 19·20번은 접하는 경우의 교점 수를 마지막에 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 극값과 부호표부터 정리하세요. 도함수의 근을 찾은 뒤 좌우 부호를 표시하고, 극값이 없는 경우까지 비교하세요(1·8·17번 대비).
2. 항상 성립하는 부등식을 최솟값 문제로 바꾸세요. 정의역과 끝점 포함 여부, 엄격한 부등호를 따로 적는 연습을 하세요(5·14번 대비).
3. 적분 구간을 나누는 연습을 하세요. 절댓값의 부호 전환점과 함수 정의가 바뀌는 점을 먼저 표시한 뒤 식을 작성하세요(7·9·11·16번 대비).
4. 운동에서 위치·속도·가속도·이동 거리를 구별하세요. 시간축 위에 방향 전환과 운동 법칙 변경을 표시하세요(3·6·12·18번 대비).
5. 정적분으로 정의된 함수를 미분해 그래프를 복원하세요. 곱의 부호표와 경계에서의 연속성을 함께 점검하세요(2·15·20번 대비).
6. 수평선과 그래프의 교점 수를 높이별로 정리하세요. 접하는 높이의 값과 그 좌우의 개수를 구분해 표로 쓰세요(10·19·20번 대비).