영파여자고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

영파여고 고2 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

영파여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 회차 자료에 나타난 출제 범위는 도함수의 활용부터 부정적분, 정적분, 정적분의 활용까지입니다. 미분으로 함수의 형태를 판단하고 적분으로 함수나 넓이를 구하는 흐름을 함께 다룹니다.

초반에는 닫힌구간의 최대·최소, 운동 방향, 접선의 기울기로부터 함수 구하기 등 기본 개념을 확인합니다. 이후에는 같은 개념을 교점 개수나 절댓값 함수의 미분가능성에 연결합니다. 공식을 외운 뒤 바로 대입하기보다 주어진 조건이 그래프에서 무엇을 뜻하는지 설명할 수 있어야 합니다.

서술·단답형도 모두 같은 부담을 주는 구성은 아닙니다. 17·18·20번은 자동 분류 기준 보통이며, 적분 구간과 상수의 의미를 정확히 처리하면 접근할 수 있습니다. 객관식의 복잡한 문항에 오래 머무르지 않고 서술·단답형의 계산과 조건을 기록할 시간을 확보하는 운영이 필요합니다.

난이도 분포 — 기본 계산 이후 이어지는 그래프 해석

1~4번은 기본 원리로 풀이를 시작하기 좋은 구간입니다. 다만 쉬움으로 분류됐다고 확인 절차를 생략해서는 안 됩니다. 최대·최소에서는 끝점, 운동 방향에서는 속도의 부호 변화, 적분에서는 상수와 구간 방향을 확인해야 합니다.

7~9번은 자동 분류 기준 어려움 문항이 연속되는 구간입니다. 도함수의 중근, 수평선과의 교점, 절댓값에 의한 미분가능성처럼 그래프를 정교하게 읽어야 하는 내용이 이어집니다. 앞 문항이 풀리지 않아도 다음 문항의 접근 방법까지 같다고 생각하지 말고 각각 판단하세요.

후반의 12·15·16번과 서술·단답형 19번에도 어려움 문항이 있습니다. 보통으로 분류된 13번 역시 정적분으로 정의된 함수의 극값을 다루므로, 난이도 표는 풀이 순서를 정하는 참고 자료로 쓰고 개인의 약점에 맞춰 시간을 조절하는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용에 집중된 조건 해석

도함수의 활용은 가장 많은 문항이 배정된 단원이며, 어려움 문항도 이 단원에 집중돼 있습니다. 증가·감소표를 작성하는 데서 끝내지 말고, 극값의 높이와 수평선의 위치를 연결해 실근 개수를 설명하는 연습까지 이어가야 합니다.

정적분에서는 단순 계산 외에도 대칭성, 절댓값, 적분으로 정의된 함수의 미분과 극한, 고정된 구간의 적분을 상수로 다루는 내용이 나옵니다. 13번처럼 적분 단원에 속하면서도 도함수의 부호와 교점 해석을 요구하는 문항이 있어 단원별 문제만 따로 풀면 연결 지점을 놓칠 수 있습니다.

정적분의 활용은 운동과 도형의 넓이를 모두 포함합니다. 14번에서는 속도를 적분해 위치를 비교하고, 16·20번에서는 영역이나 부호에 따라 적분을 나눕니다. 부정적분은 비중이 작아도 3번의 함수 복원과 10번의 계수 관계가 이후 적분 학습의 기본을 확인해 줍니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항의 공통점은 계산에 앞서 조건을 다른 표현으로 바꿔야 한다는 것입니다. 미분가능성은 교점의 기울기로, 넓이 비는 구간별 영역으로, 실근 조건은 극값의 부호로 옮겨야 합니다. 이들은 이용자 투표로 우열이 확인된 문항이 아니라 풀이 구조를 검토해 고른 분석상 고난도 문항입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1~4번에서 기본 계산과 부호를 확인하고, 7~9번에서 풀이가 길어지면 조건을 표시한 뒤 다음 문항으로 이동하세요. 객관식을 모두 마친 뒤 서술·단답형을 처음 보는 운영보다 전체를 훑고 바로 시작할 수 있는 문항을 확보하는 편이 좋습니다. 구체적인 분 단위 목표는 실제 제한 시간에 맞춰 연습에서 조정하세요.

17·18·20번은 적분 계산을 차근차근 남길 수 있도록 시간을 확보하세요. 특히 17번은 여러 계산을 나누어 처리하고, 18번은 도입한 상수의 정의를 다시 이용해야 합니다. 19번에서는 경우를 나누는 기준을 먼저 적어 놓으면 계산 중단 후 돌아왔을 때도 이어서 풀기 쉽습니다.

마지막 점검에서는 도함수가 영인 점에서 부호가 바뀌는지, 수평선이 극점을 지나는 경계를 포함했는지 확인하세요. 적분에서는 구간의 방향과 절댓값 해제, 넓이의 양수 처리를 확인해야 합니다. 운동 문항은 위치와 속도를 구별하고 출발 이후라는 조건을 적용했는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 미분·적분 계산을 먼저 정리하세요. 끝점 비교, 속도의 부호, 적분상수, 구간 방향을 풀이 끝에 확인하는 습관을 만드세요(1·2·3·4번 대비).
2. 도함수의 인수와 부호표를 연결하세요. 중근이 있을 때 부호가 유지되는 경우와 극값이 생기는 경우를 그림으로 비교하세요(7·15번 대비).
3. 수평선과 삼차곡선의 교점을 극값의 높이로 분류하세요. 접하는 경계와 극값 사이를 구별하고 매개변수의 범위를 설명하세요(8·12·13·19번 대비).
4. 절댓값 함수의 미분가능성을 교점의 기울기와 연결하세요. 교점에서 도함수가 영인 경우를 별도로 확인하는 연습이 필요합니다(9번 대비).
5. 적분변수와 매개변수의 역할을 구분하세요. 극한을 미분계수로 읽는 연습과 고정 구간의 적분을 상수로 두는 연습을 이어가세요(5·10·11·18번 대비).
6. 넓이와 운동은 계산 전에 구간부터 나누세요. 교점과 영점을 표시한 그림을 그린 뒤 넓이의 합 또는 위치 차를 식으로 세우세요(6·14·16·17·20번 대비).