영동고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

영동고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

영동고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 다항함수의 미분과 적분을 계산하는 기본기 위에 증가·감소, 최대·최소, 운동, 넓이 해석을 결합한 시험입니다.

초반에는 대칭 구간의 정적분, 구간의 합과 차, 적분상수처럼 개념을 바로 적용할 수 있는 문제가 있습니다. 그러나 닫힌구간의 최댓값이나 역함수의 존재 조건에서는 계산만 끝내지 말고 그래프의 전체 모양을 확인해야 합니다. 공식 적용과 조건 검토를 구별하는 습관이 필요합니다.

후반에는 새로 정의한 함수의 의미를 파악하는 부담이 커집니다. 이동하는 구간에서의 최댓값, 수평선과의 교점 개수를 나타내는 함수, 열린구간에서의 최대·최소 존재를 다룹니다. 원래 함수와 새 함수의 변수를 구별하고, 무엇이 고정되고 무엇이 움직이는지 먼저 적어 보세요.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 그래프 조건 해석

쉬움은 1·3·5·9번으로, 정적분의 성질과 적분상수, 속도 그래프의 넓이를 점검합니다. 보통 문항은 초반뿐 아니라 12·16·20번에도 있으므로, 어려운 문제에서 막혔다고 뒤쪽 전체를 미뤄서는 안 됩니다. 특히 20번은 운동 방향이 바뀌는 시각을 속도의 부호로 확인하는 서술·단답형입니다.

11번 이후에는 자동 분류 기준 어려움 문항이 자주 등장합니다. 13·14번은 함수의 부호와 단조성, 15번은 주기와 누적 적분, 17~19번은 대칭·최솟값·교점 개수를 다룹니다. 같은 그래프 해석이라도 판단 기준이 다르므로, 문제마다 먼저 필요한 표의 종류를 정하세요.

21·22번은 극값을 구한 뒤에도 풀이가 남습니다. 21번은 이동 구간에서 최댓값을 주는 위치를 나누어 적분해야 하고, 22번은 극점이 구간 안에 있다는 조건과 실제 최대·최소가 된다는 조건을 함께 확인해야 합니다. 자동 분류는 학습 순서를 잡는 참고 기준으로 활용하세요.

출제 단원 — 도함수의 활용을 중심으로 적분과 연결

가장 많은 도함수의활용은 단순한 증감표 작성에 한정되지 않습니다. 7·12번의 실근 개수에서 17번의 대칭 조건, 19번의 교점 개수 함수로 확장됩니다. 극값의 높이가 교점 개수를 바꾸는 경계라는 관점으로 묶어 연습하면 서로 다른 표현의 문제를 연결할 수 있습니다.

정적분은 1·3번의 기본 성질에서 8번의 적분 등식 미분, 15번의 주기 함수, 21번의 구간별 계산으로 이어집니다. 특히 정적분으로 정의된 함수와 피적분함수를 혼동하지 않아야 합니다. 적분 등식을 미분해 얻은 정보만 사용하지 말고 원래 등식에 대입해 남은 상수를 정하세요.

부정적분은 5·10번이며 적분상수와 연속성이 핵심입니다. 정적분의활용은 9번의 운동과 11번의 역함수 관련 넓이로 성격이 다릅니다. 부호 있는 위치 변화량과 항상 음이 아닌 이동 거리, 함수의 적분과 두 그래프 사이의 넓이를 각각 구별해 복습하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 선정은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 해설의 조건 처리 구조를 근거로 한 분석상 고난도 문항 선정입니다. 공통적으로 일부 구간의 계산 결과를 전체 정의역의 결론으로 곧바로 확대하면 안 됩니다. 경계와 반복 구조, 정의역을 따로 적어 놓고 검토하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 적분과 익숙한 증감표 문제를 안정적으로 확보하세요. 11번에서 넓이 설정이 길어지면 표시하고 12번을 확인하고, 후반에도 16번과 서술·단답형 20번을 별도로 살펴보세요. 번호순으로 끝까지 풀어야 한다고 생각하면 접근 가능한 문항을 놓칠 수 있습니다.

복합 문제는 계산 전에 판단 기준을 짧게 적으세요. 15번은 한 주기 적분의 누적 방향, 19번은 교점 개수가 달라지는 높이, 21번은 이동 구간과 극점의 위치 관계가 출발점입니다. 연습에서는 이 기준을 찾는 시간과 실제 계산 시간을 나눠 기록하면 막히는 원인을 파악하기 쉽습니다.

마지막 검토에서는 2번의 양 끝값 비교, 7번의 접하는 경계, 8번의 나눗셈으로 제외한 점, 17번의 근 중복을 확인하세요. 20번은 속도의 부호 변화가 근거이며, 22번은 열린구간 끝점이 제외된다는 조건이 핵심입니다. 계산을 다시 반복하기 전에 조건을 빠짐없이 사용했는지 먼저 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정적분의 구간 합·차와 대칭성을 먼저 정리하세요. 적분상수는 주어진 한 점의 조건으로 결정하는 순서를 익히세요(1·3·5·16번 대비).
2. 도함수의 부호로 증감표를 만들고 극값과 최대·최소를 구별하세요. 끝점 비교와 단조 구간의 일대일 조건까지 연결하세요(2·4·14번 대비).
3. 변화율과 운동을 식·그래프로 함께 연습하세요. 닮음으로 변수를 연결하고, 속도 부호와 이동 거리를 구별하세요(6·9·20번 대비).
4. 도함수에서 함수를 복원하고 적분 등식을 미분하는 문제를 묶으세요. 원래 조건으로 돌아가 상수와 연속성을 확인하세요(8·10·15번 대비).
5. 수평선과의 교점을 높이별로 세어 보세요. 고정된 근, 대칭쌍, 접할 때의 중복을 구분하고 교점 개수 표를 완성하세요(7·12·17·19번 대비).
6. 그래프에서 함수값과 기울기의 부호를 각각 읽고, 역함수 대칭과 곱의 미분을 연결하세요(11·13번 대비).
7. 이동 구간의 극값과 열린구간의 최대·최소를 집중 연습하세요. 후보를 얻은 뒤 구간 전체에서 조건이 성립하는지 검토하세요(18·21·22번 대비).