영동고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

영동고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

영동고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 범위는 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 함수의 증가·감소와 극값부터 적분으로 정의된 함수, 곡선 사이의 넓이, 수직선 위의 운동까지 연결됩니다.

단순히 미분식이나 원시함수를 구하는 것으로 끝나지 않는 문항이 많습니다. 움직이는 구간에서 최댓값을 택하거나, 절댓값을 취한 함수의 미분가능성을 따지거나, 매개변수에 따른 교점 개수를 해석해야 합니다. 조건을 그래프의 변화로 번역하는 과정이 풀이의 출발점입니다.

서술·단답형이라는 이유만으로 뒤쪽 문항을 모두 어렵게 볼 필요는 없습니다. 17번은 자동 분류 기준 쉬움, 18번은 보통입니다. 객관식에서 긴 경우 분류에 막혔을 때 이 문항들을 확인하고, 넓이와 대칭을 결합하는 19번 및 뒤의 객관식으로 돌아오는 순서를 연습해 보세요.

난이도 분포 — 초반부터 이어지는 조건 해석

쉬움 구간에서는 정적분의 계산, 속도 적분을 통한 위치 해석, 도함수의 부호를 이용한 극대 판정이 중심입니다. 보통 구간도 최솟값과 항상 성립하는 부등식, 적분을 포함한 항등식, 운동 방향의 변화처럼 기본 개념을 조건에 맞게 써야 합니다. 쉬운 문항에서 부호를 놓치지 않는 것이 우선입니다.

4번은 함수의 대칭과 극값 조건을 함께 다루며, 6~16번은 자동 분류 기준 어려움이 연속됩니다. 이 구간에서는 그래프를 그리는 시간과 계산 시간을 구별해야 합니다. 접근이 정해지지 않은 채 전개를 반복하기보다, 필요한 교점이나 구간 경계를 먼저 적어 두세요.

19~21번은 역함수와의 넓이, 이동 구간의 최댓값, 적분함수의 교점 조건을 다룹니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 응시자들의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다. 다만 후반 문제까지 풀려면 기본형에서 시간을 확보하고 복합 조건을 처리할 여유를 남겨야 합니다.

출제 단원 — 도함수의활용과 적분의 연결

도함수의활용은 증가·감소와 극값을 직접 판단하는 유형에서 시작해 교점 개수와 절댓값 함수로 확장됩니다. 11·15·16번처럼 매개변수에 따라 개수가 달라지는 문항은 기준이 되는 높이와 경계를 찾는 연습이 필요합니다. 도함수가 영이 되는 점을 찾는 것과 실제 극값을 판정하는 것을 구분하세요.

정적분에서는 계산뿐 아니라 적분 등식의 미분, 대칭 구간에서의 홀짝 성질, 구간별 함수의 적분을 다룹니다. 20·21번은 적분 단원으로 분류되지만 그래프의 극값과 교점 조건을 함께 사용합니다. 단원별 공식 암기 뒤에는 조건을 다른 표현으로 옮기는 연습이 이어져야 합니다.

정적분의활용은 운동과 넓이를 함께 포함합니다. 7·13·19번에서는 적분 구간과 위아래 곡선의 결정이 중요하고, 3·10번에서는 속도의 적분이 무엇을 나타내는지 구별해야 합니다. 부정적분의 6번도 원시함수와 다항식의 차수를 연결하므로 직접 적분하는 기본형만으로 준비를 마치지 마세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 범위에서도 늘어난 조건 결합

작년과 올해 모두 수학II이고 총 문항 수도 같습니다. 자동 분류 기준 쉬움은 같지만 보통이 줄고 어려움이 늘었습니다. 작년에는 17~20번이 서술·단답형이었으나 올해는 17~19번입니다. 형식의 변화와 난이도 분포를 따로 보아야 합니다.

도함수의활용은 작년과 올해 모두 9문항입니다. 정적분은 7문항에서 6문항으로, 정적분의활용은 4문항에서 5문항으로 바뀌었고 부정적분은 각각 1문항입니다. 단원 구성의 큰 틀은 유지되지만 올해는 4번부터 어려움이 등장하고 6~16번에 연속되어, 중간 구간의 풀이 부담에 대비해야 합니다.

작년의 어려움은 6·8·10~16·21번에 있었고 서술·단답형은 쉬움 또는 보통이었습니다. 올해는 서술·단답형 19번도 어려움입니다. 다음 시험을 준비할 때는 기본 계산을 다진 뒤 그래프를 통해 조건을 나누는 연습을 늘리고, 풀이 순서를 문항 형식만으로 고정하지 마세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 일반적인 경우보다 경계에서 달라지는 개수를 정확히 판단해야 한다는 것입니다. 스케치에 기준 높이와 예외를 표시한 뒤 계산을 시작하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 전체 문항을 살펴 계산 방향이 보이는 기본형을 먼저 확보하세요. 4번이나 6번에서 막혔다면 표시하고 넘어가며 17·18번의 접근 가능성도 확인하세요. 20·21번은 서술·단답형 뒤에 있는 객관식이므로 답안 형식이 바뀌는 지점까지 포함해 시험지를 훑는 습관이 필요합니다.

조건 분류가 필요한 문제는 그림과 경계만 먼저 적고 계산을 이어 가세요. 13·20번은 이동 구간이 극대점을 포함하는지가 출발점이고, 11·16·21번은 접하거나 교점이 겹치는 높이가 기준입니다. 연습에서는 이 기준을 찾는 데 걸린 시간과 적분 계산 시간을 나누어 기록하면 보완할 부분이 드러납니다.

마지막 검토에서는 부호와 정의 구간을 우선 확인하세요. 1번의 적분 방향, 10번의 출발 이후라는 제한, 12번의 구간별 교점 조건, 18번의 양의 시각과 부호 변화가 대표적입니다. 19번은 대칭으로 옮긴 영역이 어느 부분인지 표시해 넓이의 중복과 누락을 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정적분의 방향과 위치 변화량을 먼저 복습하세요. 적분의 부호와 거리의 의미를 말로 설명해 보세요(1·3번 대비).
2. 도함수의 부호표로 극대·극소와 전역 최솟값을 구별하세요. 정지하는 점과 운동 방향 전환도 함께 확인하세요(2·17·18번 대비).
3. 적분 항등식은 상수 부분을 분리하고 미분과 원래 식의 대입을 연결하세요. 다항식의 차수를 제한하는 연습도 포함하세요(5·6·14번 대비).
4. 구간별 함수는 접합 조건을, 접선 문제는 중복 인수와 기하 관계를 먼저 정리하세요. 계산 뒤 후보가 정의 구간에 속하는지 확인하세요(8·9·12번 대비).
5. 넓이와 운동 문제에서는 경계를 먼저 결정하세요. 교점과 위치 차의 부호를 표시하고 역함수의 대칭으로 넓이를 연결하세요(7·10·19번 대비).
6. 이동 구간의 최댓값은 극대점 포함 여부와 끝점 비교로 정의식을 나누세요. 그 뒤에 필요한 적분을 계산하세요(13·20번 대비).
7. 절댓값 함수와 교점 개수는 기준 높이 전후의 그림을 비교하세요. 접하는 경우와 중복된 근을 따로 검사하는 연습으로 마무리하세요(11·15·16·21번 대비).