은광여자고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

은광여고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

은광여자고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용, 함수의연속입니다. 미분의 활용과 적분 계산을 중심으로 하되, 연속 조건을 인수의 구조로 해석하는 문제도 포함됩니다.

초반에는 원시함수 복원, 정적분 구간의 연결, 대칭성을 확인합니다. 중반부터는 증가·감소와 극값, 양의 실근 개수, 역함수 사이의 넓이 등 그래프 해석이 더해집니다. 계산 전에 그릴 그래프와 나눌 구간을 정하는 연습이 필요합니다.

후반에는 절댓값과 연속성, 접선과 중근, 조각별 함수의 미분가능성처럼 조건을 결합합니다. 서술·단답형에는 풀이 과정 없이 답만 요구하는 문항도 있습니다. 연습할 때는 결과를 쓰기 전에 부호표와 조건 검사를 남겨 두세요.

난이도 분포 — 후반에 집중된 조건 결합

쉬움은 1·2·5·7·23번입니다. 부정적분의 기본 관계, 대칭 구간의 적분, 극대·극소, 속도와 위치의 관계를 확인합니다. 특히 23번은 위치와 위치 변화량, 움직인 거리를 구별해야 하므로 쉬움이라는 분류만 보고 같은 계산을 반복해서는 안 됩니다.

보통 문항은 3·4·6번과 8~17번입니다. 도함수가 사라지는 점과 부호가 바뀌는 점을 구별하고, 정적분을 상수로 치환하거나 대칭성을 적용합니다. 계산에 앞서 적용할 성질을 한 줄로 적는 연습이 도움이 됩니다.

어려움은 18~22번과 24~26번입니다. 함수의 식을 결정한 뒤 넓이를 구하거나 여러 그래프를 이어 붙인 뒤 극값을 판단하는 등 선행 판단이 필요한 문항이 많습니다. 난이도는 자동 분류 기준이며, 후반에 막혔더라도 23번을 확인할 수 있도록 전체 문항을 살피는 운영을 권합니다.

출제 단원 — 도함수의 부호와 적분의 기하적 의미

도함수의활용은 증가·감소, 극값, 운동 방향, 실근 개수, 접선 조건까지 폭넓게 다룹니다. 4번의 전체 구간 감소 조건에서 25번의 항상 성립하는 부등식으로 이어지는 공통 도구는 도함수의 부호표입니다. 근을 찾은 다음 구간별 부호와 경계의 포함 여부를 확인해야 합니다.

정적분에서는 3번의 구간 연결, 5·6·16번의 대칭성과 홀짝, 12번의 상수인 정적분 처리가 눈에 띕니다. 정적분의활용은 14·15번의 대칭을 이용한 넓이에서 20·24번의 조건 결합, 23·26번의 운동 해석으로 확장됩니다. 계산량을 줄이는 성질과 적분 구간을 정하는 논리를 함께 복습하세요.

부정적분은 1·2번에서 기초를 확인하며, 함수의연속은 18번에서 어려움으로 분류됩니다. 연속 조건은 절댓값과 인수의 중복 여부를 판단하는 데 필요합니다. 문항 수와 함께 미분·적분에 연결되는 조건도 살펴보세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 증가와 후반 집중

작년과 올해는 모두 수학II입니다. 총 문항과 서술·단답 문항이 늘었고, 자동 분류 기준 어려움 문항 수도 늘었습니다. 다만 전체 문항 수도 함께 늘었으므로 어려움의 비중이 높아졌다고 볼 수는 없습니다. 실제 시험 운영에서는 기본 문항을 처리하는 속도까지 점검할 필요가 있습니다.

도함수의활용은 작년에도 가장 많은 단원이었고 올해는 그 비중이 더 커졌습니다. 정적분은 문항 수가 같고, 정적분의활용은 늘었으며 부정적분은 줄었습니다. 올해는 함수의연속도 포함되어 있어, 적분 계산뿐 아니라 연속성과 미분의 조건을 연결하는 연습이 필요합니다.

작년의 어려움 문항은 12번에서 시작해 15~20번에 이어졌으며, 올해는 18~22번과 24~26번에 모입니다. 올해 후반의 23번처럼 접근 가능한 문항을 찾아내는 연습과 함께, 도함수의 부호표를 넓이·거리·항상 성립하는 부등식에 적용하는 학습을 권합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며 조건 처리의 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 경계와 경우를 정해야 합니다. 풀이가 막히면 전개를 늘리기보다 연속 조건, 그래프 교체 조건, 근의 순서 중 무엇을 아직 정하지 않았는지 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 적분의 성질을 바로 적용할 수 있는 문제를 먼저 확보하세요. 18번 이후 조건 해석이 길어지면 표시하고 23번을 확인하세요. 연습에서는 조건 해석과 계산에 쓰는 시간을 구별해 기록하세요.

8·10번에서는 도함수나 속도가 사라지는 사실보다 부호 변화가 중요합니다. 13·19번에서는 내부 극값만 비교하지 말고 끝값과 조각별 경계도 살펴야 합니다. 20·24번은 함수를 정하는 단계와 넓이를 적분하는 단계를 나누어 적어 두면, 앞 조건의 누락을 뒤늦게 찾는 일을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 23번의 위치 변화량과 거리, 26번의 초기 위치와 두 점의 좌우 관계를 확인하세요. 25번은 매개변수의 범위와 경계 포함 여부를 되짚어야 합니다. 답만 요구하는 형식에서도 연습 중에는 부호표와 경우 구분을 남겨, 오답이 계산 때문인지 조건 누락 때문인지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부정적분과 미분의 관계를 복습하고 초기 조건으로 적분상수를 정하세요. 구한 함수를 미분해 원래 도함수와 비교해 보세요(1·2번 대비).
2. 정적분 구간의 방향, 구간 연결, 기함수·우함수 성질을 묶어 연습하세요. 유한합에서는 지수의 홀짝까지 분류해 보세요(3·5·6·16번 대비).
3. 도함수의 근과 부호표로 증가·감소, 극값, 실근 개수를 판단하세요. 중근에서 부호가 유지되는 예를 포함해 연습하세요(4·7~11·17번 대비).
4. 정적분을 상수로 놓는 유형과 적분으로 정의된 함수를 미분하는 유형을 구별하세요. 최대·최소에서는 끝점 비교를 습관으로 만드세요(12·13·19번 대비).
5. 대칭, 교점, 함수 차의 부호 순서로 넓이 풀이를 정리하세요. 접선과 극한 조건이 붙으면 함수 결정 과정을 먼저 분리하세요(14·15·20·24번 대비).
6. 연속성, 접선의 중근, 조각별 미분가능성, 매개변수의 근 순서를 경계 중심으로 정리하세요. 각 경우에 적용한 조건을 표로 남기세요(18·21·22·25번 대비).
7. 위치·속도·가속도를 미분과 적분으로 연결하고 위치 변화량과 거리를 구별하세요. 두 점의 운동은 초기 위치를 반영한 위치 차부터 만드세요(8·23·26번 대비).