가락고등학교
2022년 1학년 1학기 기말고사

가락고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

가락고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료의 출제 단원은 여러가지부등식, 여러가지방정식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식, 도형의이동입니다. 방정식과 부등식의 대수적 처리에서 시작해 좌표평면의 거리와 위치 관계로 이어지는 범위입니다.

초반에는 연립부등식의 공통 범위, 허근의 거듭제곱, 연립방정식의 치환을 다룹니다. 이후에는 중점과 무게중심, 직선의 기울기, 원의 중심과 반지름을 이용합니다. 공식을 기억하는 것과 함께 문제의 조건이 어떤 공식의 사용 근거가 되는지 설명할 수 있어야 합니다.

후반의 핵심은 대수와 도형 사이의 전환입니다. 20번은 중근 조건을 좌표평면의 원으로 읽어야 하고, 21번은 넓이 조건을 평행선과 원의 교점 문제로 바꿔야 합니다. 앞부분의 기본형을 안정적으로 처리한 뒤 이러한 전환을 시도할 시간을 확보하는 구성이 적절합니다.

난이도 분포 — 기본형 사이에 놓인 보통 문항과 마지막의 조건 전환

쉬움 문항은 초반에만 있지 않습니다. 11·12·14번에서도 중심 찾기, 수직 조건, 원과 직선의 만남 같은 기본형을 확인할 수 있습니다. 9·10번에서 조건 판단에 시간이 걸리더라도 뒤 문항을 살펴보고 바로 풀 수 있는 문제를 먼저 처리하세요.

보통 문항은 계산에 앞서 구조를 파악해야 합니다. 3·4번은 허근을 직접 계산하는 대신 근이 만족하는 식과 근과 계수의 관계를 쓰는 편이 효율적입니다. 13·15·16번은 접선이나 현의 조건을 반지름과 거리의 관계로 바꾸어야 풀이가 짧아집니다.

어려움은 20·21번입니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 일치한다고 단정할 수 없습니다. 두 문항은 복잡한 좌표 계산보다 조건을 바꾸어 보는 첫 단계와 경계 처리의 부담이 크므로, 풀이의 시작점을 찾는 연습이 필요합니다.

출제 단원 — 원의방정식에 집중된 거리와 위치 관계

원의방정식은 중심과 반지름을 정하는 12번부터 시작해 접선의 수직 관계, 직선과의 만남, 현과 중심 사이의 거리로 확장됩니다. 20·21번에서는 원이 처음부터 드러나 있지 않거나 다른 조건과 결합합니다. 원의 표준형과 점과 직선 사이의 거리를 함께 익히는 것이 우선입니다.

평면좌표는 거리, 내분·외분, 중점과 무게중심을 고르게 다룹니다. 특히 19번은 움직이는 점의 좌표를 끝까지 구하지 않아도 중점과 거리 제곱의 관계로 필요한 양을 정리할 수 있습니다. 좌표를 설정하기 전에 고정된 거리와 변하는 거리를 구별하는 습관이 도움이 됩니다.

대수 단원도 조건 확인이 중요합니다. 5번은 합과 곱으로 치환한 뒤 실제 실수해가 가능한지 살피고, 18번은 최고차항의 부호와 판별식 조건을 함께 적용해야 합니다. 직선과 도형의이동에서는 9번의 사분면 경계와 17번의 이동 순서를 그림으로 확인하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

선정은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 해설의 조건 연결 구조를 살핀 분석입니다. 자동 분류 기준 어려움은 20·21번이며, 13번은 보통 분류 안에서 함께 연습할 문항입니다. 공통 과제는 접선·판별식·넓이라는 서로 다른 표현을 중심과 거리의 관계로 바꾸는 것입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본형과 조건 전환이 필요한 문제를 구분하세요. 1·2번의 부등식, 6·8번의 좌표, 11·12·14번의 직선과 원을 먼저 안정적으로 처리하는 연습이 좋습니다. 정해진 시험 시간이 자료에 없으므로 일률적인 분 단위 배분보다 문항별로 막힌 이유를 기록하며 자신의 풀이 순서를 정하세요.

서술·단답형을 시작하기 전에 18·19·20번의 핵심 조건을 각각 적어 보세요. 18번은 모든 실수에 대한 성립, 19번은 중점에서의 고정 거리, 20번은 중근입니다. 특히 20번에서 변환이 떠오르지 않으면 필요한 조건식까지 남기고 다른 문항을 확인한 뒤 돌아오는 방식으로 연습하세요.

검토할 때는 계산보다 경계를 먼저 확인하세요. 9번은 축 위의 점을 제외하고 14번은 접하는 경우를 포함해야 합니다. 17번은 대칭이동의 순서를, 18번은 최고차항 조건과 판별식 조건의 공통 범위를 확인하세요. 21번은 넓이가 사라지는 경우를 제외하고 최대 넓이에서 교점 수를 별도로 점검해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부등식의 해를 수직선과 그래프로 표현하세요. 끝점 포함과 모든 실수에 대한 성립 조건을 구별하고 판별식까지 연결하세요(1·2·18번 대비).
2. 근과 계수의 관계 및 인수분해를 복습하세요. 큰 거듭제곱은 근이 만족하는 식으로 줄이고, 합과 곱으로 치환한 뒤 실수해의 존재를 확인하세요(3·4·5번 대비).
3. 거리와 내분·외분, 중점과 무게중심을 함께 연습하세요. 점의 위치를 먼저 그리고 필요한 좌표만 구하는 풀이와 중선정리를 비교하세요(6·7·8·19번 대비).
4. 직선은 정점과 기울기를 먼저 확인하세요. 사분면 경계를 스케치하고 대칭이동은 중심 좌표에 순서대로 적용하세요(9·10·11·17번 대비).
5. 원의 표준형과 중심에서 직선까지의 거리를 묶어 연습하세요. 만남·접함·현의 조건을 각각 어떤 거리 관계로 바꾸는지 설명하세요(12·13·14·15·16번 대비).
6. 판별식 조건과 넓이 조건을 도형으로 바꾸는 연습을 마무리하세요. 원과 평행선의 접촉, 내부와 경계의 교점 수를 그림으로 구별하세요(20·21번 대비).