덕수고등학교
2024년 2학년 2학기 중간고사

덕수고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

덕수고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한 계산을 따로 익히는 데서 그치지 않고 연속과 미분의 정의로 연결하는 학습이 필요합니다.

초반에는 인수분해와 최고차항 비교, 그래프에서 좌우극한 읽기, 다항함수의 미분처럼 출발점이 분명한 문항이 나옵니다. 이후에는 식을 적절히 분해하거나 새로운 함수를 두어 주어진 조건을 익숙한 개념으로 바꾸어야 합니다. 계산을 시작하기 전에 어떤 정의를 사용할지 판단하는 과정이 중요합니다.

객관식에서는 열린구간의 치역, 부등식으로 제한된 함수의 변화, 연속인 곱함수, 도함수를 포함한 항등식이 눈에 띕니다. 서술·단답형은 도형을 극한식으로 표현하거나 미분가능성의 정의를 적용하는 구성입니다. 기본형의 정확성과 조건을 연결하는 설명력을 함께 점검하세요.

난이도 분포 — 10번과 객관식 후반의 조건 연결

쉬움 문항은 1·2·4·5·6·7·8·12번입니다. 극한과 미분 공식의 기본 적용뿐 아니라 평균변화율과 접선의 기울기를 구분하는 능력을 확인합니다. 12번처럼 뒤쪽에도 쉬움 문항이 있으므로 앞에서 막혔을 때 남은 문항을 확인하는 운영이 필요합니다.

보통 문항은 3·9·11·13·14·15·19·20·21번입니다. 연속의 조건을 적용하거나 극한식을 미분계수 꼴로 정리하고, 접선과 평균값 정리를 활용합니다. 기본 개념을 알고 있어도 적용할 대상 함수를 잘못 고르면 계산이 길어질 수 있습니다.

어려움 문항은 10·16·17·18번입니다. 10번은 그래프의 치역과 구간 조건을 함께 다루며, 16~18번은 조건을 순서대로 해석해 함수의 성질이나 형태를 좁힙니다. 이 난이도는 자동 분류 기준입니다. 실제 풀이에서는 익숙한 계산보다 첫 추론을 찾는 데 시간이 걸릴 수 있다는 점에 주목하세요.

출제 단원 — 미분의 정의가 여러 유형을 연결

미분계수와도함수는 5·7·8·11·16·18·20·21번입니다. 단순한 미분 공식에서 평균변화율, 증분이 바뀐 극한식, 미분가능성, 항등식의 차수 비교까지 폭이 넓습니다. 도함수 계산만 반복하기보다 함수값의 차를 미분계수의 정의에 맞추어 정리하는 연습을 우선하세요.

도함수의활용은 10·12·13·14·15번입니다. 방정식의 실근 존재를 그래프의 교점으로 바꾸거나 접선의 기울기를 도형과 계수 조건으로 연결합니다. 평균값 정리를 다루는 12·15번에서는 어떤 함수와 구간에 정리를 적용하는지 먼저 적어 두는 것이 좋습니다.

함수의극한과 함수의연속도 독립된 계산에 머물지 않습니다. 19번은 원과 축 사이의 거리를 극한식으로 만들고, 17번은 곱함수의 연속 조건으로 다항함수의 인수 구조를 제한합니다. 6번은 자료상 함수의연속에 속하지만 실제 준비에서는 닫힌구간의 이차함수 최대·최소도 함께 복습해야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 미분 비중과 어려움 문항의 확대

작년과 올해 모두 수학II입니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 2문항에서 올해 4문항으로 늘었고, 보통은 12문항에서 9문항으로 줄었습니다. 총 문항은 20문항에서 21문항으로 늘었지만 서술·단답형은 모두 3문항으로 같습니다. 분류상 어려움의 확대와 서술형의 개수는 별도로 읽어야 합니다.

작년에는 함수의극한이 6문항으로 가장 많았고, 올해는 미분계수와도함수가 8문항으로 중심을 이룹니다. 함수의극한은 6문항에서 4문항, 함수의연속은 5문항에서 4문항으로 줄었으며, 미분계수와도함수는 5문항에서 8문항, 도함수의활용은 4문항에서 5문항으로 늘었습니다.

작년 어려움 문항은 16·17번이었고 올해는 10번과 16·17·18번입니다. 객관식 후반에 대비하면서 중간에 등장하는 고난도 문제에도 시간을 과하게 쓰지 않는 연습이 필요합니다. 학습에서는 극한의 기본 계산을 유지하되 미분계수의 정의 변형과 도함수를 포함한 조건 해석을 더해 보세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건을 익숙한 정의나 인수 구조로 변환하는 과정이 길어 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 이용자 투표에 따른 난도 순위는 아닙니다. 각 조건으로 얻은 정보를 한 줄씩 정리하고, 다음 단계에 어떤 정보가 쓰이는지 연결하는 방식으로 복습하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 초반 기본형과 접근이 보이는 보통 문항을 처리하세요. 10번에서 치역 계산이 길어지면 표시하고 11·12번을 확인하는 편이 좋습니다. 16~18번을 모두 끝낸 뒤 서술·단답형을 시작하기보다 전체를 훑어 자신이 설명할 수 있는 문항을 먼저 찾아 두세요.

조건 검토에서는 10번의 열린구간에 특히 주의하세요. 끝점이 빠져 있어도 그 끝점과 같은 함수값이 구간 내부에서 다시 나올 수 있으므로, 끝점의 값이라는 이유만으로 치역에서 제외하면 안 됩니다. 14번에서는 접점이 곡선 위에 있다는 조건과 접선의 평행 조건을 따로 쓰고, 15번에서는 상한의 실제 달성 가능성까지 확인하세요.

서술에서는 시작 식과 결론 사이의 근거를 남길 시간을 확보하세요. 19번은 거리의 최소를 나타내는 기하적 이유, 20번은 좌우 미분계수 비교와 작은 후보의 제외 이유, 21번은 극한의 존재가 주는 상수항 조건이 중요합니다. 마지막 검토에서는 계산을 반복하기보다 정의를 적용한 대상과 누락한 조건이 없는지 살피세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 유리식의 극한을 인수분해와 최고차항 비교로 정리하고 그래프의 좌우극한과 함수값을 구분하세요(1·2·4번 대비).
2. 연속의 정의를 함수값·좌극한·우극한으로 나누어 쓰고, 곱의 형태에서는 약분으로 제외된 지점을 별도로 확인하세요(3·9·17번 대비).
3. 평균변화율과 미분계수를 비교한 뒤 변화량의 배율이 다른 극한식을 정의에 맞게 변형하세요(5·7·8·11번 대비).
4. 접선과 수직선의 기울기, 곱의 미분법, 평균값 정리의 적용 대상을 연결해 연습하세요(12·13·14·15번 대비).
5. 도함수의 부호로 치역을 구할 때 극값과 끝점의 포함 여부를 함께 확인하고, 근호의 차는 유리화와 연결하세요(6·10·19번 대비).
6. 부등식의 극한과 항등식의 차수 비교로 함수의 구조를 좁히는 연습을 하세요. 후보를 얻은 뒤 원래 조건으로 검증하세요(16·18번 대비).
7. 미분가능성의 정의와 합으로 만든 함수의 극한을 서술하세요. 계산 전에 필요한 조건을 적고 최소 조건의 제외 근거도 남기세요(20·21번 대비).