덕수고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

덕수고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

덕수고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 평균변화율과 미분법의 기본에서 접선, 평균값 정리, 연속성을 이용한 존재 판단까지 다룹니다.

초반에는 정의와 공식을 바로 적용하는 문항이 있지만, 뒤로 갈수록 주어진 조건을 다른 형태로 바꾸는 일이 중요해집니다. 극한 조건을 함수값과 미분계수의 관계로 바꾸거나, 움직이는 직선과 도형의 교점 개수를 매개변수의 함수로 읽어야 합니다.

서술·단답형도 성격이 다릅니다. 18번은 미분계수의 정의를 이용하는 과정이 중요하고, 20번은 구간별 그래프에서 교점 개수의 변화를 추적해야 합니다. 계산 결과만 확인하는 공부보다 어떤 조건에서 변형이 가능한지 설명하는 공부가 적합합니다.

난이도 분포 — 기본형 이후 이어지는 조건 해석

쉬움 문항은 평균변화율, 다항함수의 미분, 미분계수의 정의, 연속 조건, 곱의 미분법에 해당합니다. 기본 공식의 적용 순서를 익히면 접근할 수 있지만, 차분몫을 전개할 때 상수항을 빠뜨리거나 곱을 각각 미분한 것끼리 곱하는 실수는 경계해야 합니다.

보통 구간에서도 개념의 구분이 필요합니다. 7번은 극한 성질의 성립 조건을, 10번은 접선과 할선의 기울기를, 13번은 연속성과 미분가능성의 차이를 묻습니다. 계산이 짧다는 이유로 조건 검토까지 생략하면 안 되는 문항들입니다.

자동 분류 기준 어려움은 후반에 집중되지만 13·18번처럼 보통 문항이 사이에 있습니다. 막힌 문항을 계속 붙잡기보다 다음 문항의 출발점도 확인하세요. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료가 아니라 학습 순서를 정하는 참고 기준입니다.

출제 단원 — 미분의 기본과 연속의 경계 판단

미분계수와도함수는 가장 많이 출제되었으며 기본 계산에서 그래프 해석과 서술까지 폭이 넓습니다. 3번의 차분몫 전개를 18번의 분자 변형으로 연결하고, 1번의 평균변화율을 10번의 할선 기울기로 연결해 복습하면 개념을 따로 암기하는 부담을 줄일 수 있습니다.

함수의연속은 문항 수뿐 아니라 후반부의 부담을 살펴야 합니다. 4번은 극한값과 함수값을 맞추는 기본형이지만, 15번은 사잇값 정리와 인수정리, 16·20번은 교점 개수, 19번은 곱함수의 연속 조건으로 확장됩니다. 연속의 정의를 그래프와 대수 조건 양쪽으로 표현하는 연습이 필요합니다.

함수의극한에서는 성질의 적용 조건과 식의 재구성이 중요합니다. 14번은 극한을 미분계수로 읽는 연결이, 17번은 서로 다른 극한 조건에서 다항식의 구조를 제한하는 과정이 핵심입니다. 도함수의활용은 접점과 외부의 점을 구분하고 접선의 방정식을 세우는 기본기를 점검하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수 감소와 후반 조건 해석의 확대

작년과 올해 모두 수학II입니다. 전체 문항과 서술·단답형은 줄었지만 자동 분류 기준 어려움 문항은 늘었습니다. 문항 수가 적어졌다는 이유만으로 풀이 부담이 줄었다고 판단하기는 어렵습니다.

미분계수와도함수가 가장 많다는 점은 같지만 도함수의활용은 작년 5문항에서 올해 3문항으로 줄었습니다. 함수의극한과 함수의연속은 작년 각각 4문항에서 올해 각각 5문항으로 늘어, 미분 공식뿐 아니라 극한과 연속의 조건 해석을 함께 준비할 필요가 있습니다.

작년 어려움은 10·16·17·18번이었고 서술·단답형은 모두 보통으로 분류되었습니다. 올해는 후반 객관식에 어려움 문항이 이어지고 서술·단답형 20번도 어려움입니다. 다음 시험을 준비할 때는 기본 계산 속도를 확보한 뒤 그래프 경계와 경우 분류를 서술하는 연습으로 확장하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 중 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 후보나 경계를 먼저 정한 뒤 조건을 적용해야 하며, 계산을 마친 후 예외를 다시 확인하는 과정이 필요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 평균변화율과 미분법처럼 바로 시작할 수 있는 문항을 확보하세요. 후반의 12·14번에서 풀이가 길어지면 표시하고 13·18번의 접근 가능성도 확인하는 것이 좋습니다. 18번 뒤에 객관식 19번이 있으므로 번호만 보고 서술형 구간을 통째로 뒤로 미루지 마세요.

서술·단답형을 위한 시간은 따로 남겨 두세요. 18번은 미분계수의 정의를 이용하는 풀이가 요구되므로 차분몫을 만드는 변형을 생략하지 않는 연습이 필요합니다. 20번은 그래프 부분별 교점 개수와 경계 포함 여부를 표로 정리한 뒤 서술하면 되풀이 계산을 줄일 수 있습니다.

검토할 때는 계산보다 조건 누락을 먼저 보세요. 8번은 음의 무한대와 근호의 부호, 13번은 연속성 확인, 19번은 곱의 한 인수가 영이 되는 예외가 중요합니다. 16·20번에서는 경계의 함수값과 양쪽 극한을 따로 확인하고, 중복되는 교점을 다시 세어 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 평균변화율과 미분계수의 정의를 먼저 정리하세요. 차분몫을 직접 전개하고, 변형된 분자에서 필요한 함수값을 더하고 빼는 연습으로 이어 가세요(1·3·18번 대비).
2. 다항함수의 미분과 곱의 미분법을 익히세요. 함수값과 도함숫값을 구분해 정리한 뒤 복합 조건에 적용하세요(2·6·14번 대비).
3. 극한의 성질과 계산법을 복습하세요. 적용 조건을 말로 설명하고, 유리화와 최고차항 비교에서 부호를 확인하세요(7·8·9번 대비).
4. 연속과 미분가능성을 순서대로 판정하세요. 경계의 함수값, 좌우극한, 좌우미분계수를 나란히 적는 습관을 들이세요(4·13·19번 대비).
5. 접선과 할선의 기하적 의미를 연결하세요. 평균값 정리의 내부 점, 접점, 외부의 점을 각각 표시한 뒤 식을 세우세요(5·10·11·12번 대비).
6. 존재 판단과 다항식 조건을 묶어 연습하세요. 사잇값 정리의 구간 조건을 확인하고 극한으로 차수와 계수를 제한하는 과정을 익히세요(15·17번 대비).
7. 움직이는 직선의 교점 개수를 표로 정리하세요. 일반 구간과 경계를 분리하고 여러 변화가 겹치는 경우까지 검토하세요(16·20번 대비).