화홍고등학교
2022년 1학년 1학기 기말고사

화홍고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

화홍고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 출제 단원은 여러가지부등식, 직선의방정식, 원의방정식, 평면좌표, 여러가지방정식, 이차방정식입니다. 부등식의 해석과 좌표평면에서 도형의 성질을 식으로 옮기는 능력을 함께 살펴보는 구성입니다.

초반에는 완전제곱식의 부호, 무게중심, 연립방정식, 기울기처럼 기본 개념을 직접 적용하는 문항이 이어집니다. 그러나 점과 직선 사이의 거리를 구할 때도 점이 놓인 사분면을 확인해야 합니다. 공식에 대입하는 속도와 함께 조건을 읽고 식의 부호를 결정하는 정확성이 필요합니다.

중반 이후에는 주어진 해에서 매개변수의 범위를 거꾸로 찾거나, 넓이의 비를 선분의 비로 바꾸는 단계가 추가됩니다. 서술·단답형은 절댓값 부등식의 경우 구분과 원 밖에서 그은 접선의 성질을 다룹니다. 계산 결과만 남기기보다 어떤 조건을 근거로 식을 세웠는지 설명하는 연습이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 중반의 조건 해석

쉬움으로 분류된 1~8번은 기본 성질과 공식을 점검하는 구간입니다. 부등식에서는 해의 공통부분을 찾고, 직선에서는 기울기와 거리 조건을 이용합니다. 풀이가 짧아도 등호의 포함 여부나 절댓값의 부호를 빠뜨리면 결론이 달라지므로, 빠르게 풀되 조건 확인을 생략하지 마세요.

10~14번에는 자동 분류 기준 어려움 문항이 이어집니다. 부등식의 해가 주어졌을 때의 역추론, 넓이와 외분점의 연결, 모든 매개변수에 대한 실근 조건, 사분면에서의 교점 조건, 여러 접촉 조건을 만족하는 원을 차례로 다룹니다. 계산량을 늘리기 전에 문제마다 조건을 해석하는 기준을 정해야 합니다.

15·16번과 서술·단답형 19번은 보통으로 분류되어 있습니다. 문항 순서만 보고 뒤로 갈수록 모두 어려워진다고 생각하지 마세요. 난이도는 자동 분류 기준이며 개인의 체감과 다를 수 있지만, 후반의 접근 가능한 문항을 확인할 필요가 있다는 점은 학습과 실전 운영에 활용할 수 있습니다.

출제 단원 — 부등식과 직선·원의 조건 연결

여러가지부등식은 기본 해법에서 시작해 매개변수와 정수해를 다루는 유형까지 이어집니다. 4번에서 익힌 공통부분의 개념이 10·18번의 바탕이 됩니다. 5번의 절댓값 해석은 19번에서 구간별 풀이로 확장되므로, 개별 유형을 외우기보다 해집합을 수직선에 나타내는 습관을 들이세요.

직선의방정식은 기울기, 평행, 점과 직선 사이의 거리, 정점, 수직이등분선을 폭넓게 다룹니다. 원의방정식에서는 접선과 중심 사이의 거리 관계가 반복됩니다. 8번의 거리 공식을 9·14·17번의 접촉 및 교차 조건으로 연결해 연습하면 단원 사이의 공통 원리를 익힐 수 있습니다.

평면좌표는 평균으로 구하는 무게중심뿐 아니라 넓이와 선분비의 연결, 삼각형의 성질 판단까지 포함합니다. 이차방정식의 12번은 출제 문항 수가 적은 단원이라도 개념의 적용 범위를 정확히 이해해야 한다는 사례입니다. 판별식이 음수가 아니라는 조건을 매개변수 전체에 대해 해석하는 연습을 포함하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 풀이에서 여러 조건을 연결해야 한다는 점을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 자동 분류 기준 어려움에 속하지만 이용자 투표로 확정된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 식을 얻는 단계와 그 식이 원래 조건을 만족하는지 확인하는 단계를 나누어 연습하면 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 기본형을 정확하게 처리하고, 중반에 풀이 방향이 보이지 않는 문항은 표시한 뒤 다음을 확인하세요. 10~14번에서 시간을 오래 사용했다면 15·16번으로 넘어가 접근 가능성을 살펴보는 것이 좋습니다. 시험 시간이 명시되어 있지 않으므로 고정된 분 단위 배분보다, 연습에서 문항별 소요 시간을 기록해 자신의 지연 구간을 찾으세요.

서술·단답형을 마지막에 처음 읽는 상황을 피하세요. 19번은 절댓값을 나누는 기준과 각 구간의 부호를 적으면 풀이를 시작할 수 있습니다. 20번은 접점, 접선, 길이로 이어지는 과정을 구분해 이미 확보한 관계를 다음 단계에 활용하세요. 계산을 여러 번 되풀이하지 않도록 접점의 표기와 좌표를 일관되게 유지하는 것도 중요합니다.

검토할 때는 경계와 예외를 먼저 살피세요. 10번은 요구한 구간의 끝점 포함 여부, 13번은 좌표축의 제외, 17번은 서로 다른 교점을 갖는 엄격한 부등호가 핵심입니다. 18번은 후보 정수를 모든 조건에 다시 넣고, 9·20번은 기울기가 없는 접선을 빠뜨리지 않았는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부등식의 기본 해법을 수직선과 함께 복습하세요. 제곱식의 부호, 연립부등식의 공통부분, 절댓값의 거리 해석을 연결하세요(1·4·5번 대비).
2. 직선의 기울기와 점과 직선 사이의 거리를 정확히 계산하세요. 사분면에서 얻는 부호 조건을 공식 적용 전에 적는 연습을 하세요(6·7·8번 대비).
3. 좌표로 도형의 성질을 설명하세요. 무게중심, 넓이비와 선분비, 외분점, 수직이등분선의 관계를 그림으로 확인하세요(2·11·15·16번 대비).
4. 매개변수 문제는 조건의 적용 범위를 먼저 구분하세요. 주어진 해와 공통부분을 맞추는 문제, 모든 값에서 실근을 갖는 문제, 정수해를 세는 문제를 연습하세요(10·12·18번 대비).
5. 직선과 원의 관계를 중심에서의 거리로 통일해 정리하세요. 접하는 경우와 교차하는 경우를 구별하고 축에 접하는 원의 반지름도 함께 연결하세요(9·14·17번 대비).
6. 조건을 풀이 과정으로 쓰는 연습으로 마무리하세요. 사분면의 열린 경계, 절댓값의 구간 분류, 접점과 접선 및 길이의 근거를 빠짐없이 설명하세요(13·19·20번 대비).