화홍고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

화홍고 1학년 2학기 기말 수학(하)은 어떤 시험인가

화홍고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 기본 대응 관계와 그래프의 성질을 확인한 뒤, 여러 조건을 결합하거나 경우를 나누는 형태로 확장됩니다.

초반에는 역함수의 정의, 합성 순서, 항등함수와 상수함수처럼 개념을 정확히 알면 접근할 수 있는 문항이 배치되어 있습니다. 반면 후반에는 합성함수의 치환, 일대일대응의 구조, 그래프의 대칭을 다른 개념과 연결해야 합니다. 같은 함수 단원이라도 필요한 사고 과정의 길이가 달라집니다.

순열조합에서는 단순히 순열과 조합의 공식을 고르는 데 그치지 않습니다. 이름 없는 조의 중복, 이웃하는 자리의 범위, 같은 색 구슬의 구별 여부를 각각 판단해야 합니다. 계산을 시작하기 전에 무엇을 하나의 경우로 세는지 말로 설명할 수 있어야 풀이가 안정됩니다.

난이도 분포 — 초반 기본형 뒤에 이어지는 조건 해석

쉬움 문항은 1~7번과 서술·단답형 19번입니다. 기본 개념을 적용하는 구간이지만 6번의 정의역·치역과 대칭성, 7번의 구별되지 않는 조처럼 짧은 풀이 안에서도 조건을 놓칠 수 있습니다. 쉬운 문제를 빠르게 푸는 연습과 함께 마지막 조건 확인을 습관화하세요.

8·9·10·12번은 보통으로 분류됩니다. 교대 배열과 비인접 배열의 차이, 선택과 배분의 차이, 합성된 역함수의 순서가 주요 확인점입니다. 11번에서 막히더라도 바로 다음의 12번을 살펴보면 접근 가능한 문항을 확보할 수 있습니다.

13~18번에는 어려움 문항이 이어집니다. 함수의 성질을 방정식으로 바꾸거나 경우를 나눈 뒤 후보를 검증하는 과정이 중요합니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수 없습니다. 서술·단답형도 19번과 21번의 분류가 다르므로 형식만 보고 시간을 일괄 배정하지 마세요.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수 조건의 결합

가장 많은 순열조합은 약수의 개수부터 집단 분할, 배열, 공의 선택, 격자점 도형까지 소재가 다양합니다. 8번과 12번은 모두 배열을 다루지만 빈틈을 이용하는 상황과 같은 줄의 이웃한 자리를 세는 상황이 다릅니다. 익숙한 풀이를 그대로 적용하기보다 자리 구조부터 그려 보세요.

합성함수와역함수는 기본 대응을 읽는 1·2번에서 합성된 역함수를 정리하는 10번, 치환으로 방정식을 해석하는 14번으로 이어집니다. 유리함수와 무리함수에서도 역함수, 직선과의 교점, 대칭 관계가 결합됩니다. 단원명이 다르더라도 정의역·치역과 그래프의 위치 관계를 함께 복습해야 합니다.

함수 단원의 16·17번은 각각 유한집합의 대응과 제한된 정의역에서의 일대일성을 다룹니다. 공식을 대입하는 방식보다 조건을 만족하는 대응 구조나 그래프 구간을 먼저 정하는 방식이 유효합니다. 특히 공역으로 제시된 집합과 실제 치역이 같다는 조건을 별도로 확인하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 순열조합 확대와 어려움 문항 증가

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 총 문항은 20문항에서 21문항으로 늘었고 서술·단답형은 2문항으로 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 7문항에서 9문항으로 늘었으며 보통은 같고 쉬움은 줄었습니다. 따라서 문항 수의 변화와 함께 어려움 구간의 풀이 부담도 살펴볼 필요가 있습니다.

합성함수와역함수는 작년 6문항에서 올해 4문항으로 줄고, 순열조합은 6문항에서 8문항으로 늘었습니다. 유리함수는 4문항에서 3문항으로 줄었으며 함수와 무리함수는 각각 2문항에서 3문항으로 늘었습니다. 순열조합의 연습량을 확보하면서 함수 영역의 기본 조건도 고르게 유지하는 준비가 적절합니다.

어려움은 작년 11·12·15·16·17·18·20번에, 올해 11·13·14·15·16·17·18·20·21번에 있습니다. 작년 서술·단답형 19번은 쉬움, 20번은 어려움이었고 올해는 19번이 쉬움, 21번이 어려움입니다. 다음 시험 준비에서도 뒤쪽 문항을 모두 같은 난도로 취급하지 말고, 기본형을 확보한 뒤 복합 조건을 연습하는 순서를 권합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산에 앞서 적용 가능한 범위를 정해야 한다는 것입니다. 풀이 첫 줄에 제외할 입력, 고정점 조건, 경우를 나누는 기준을 적으면 검토 단계에서도 누락을 찾기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~7번의 개념 확인 문항을 안정적으로 처리하고, 전체를 훑어 서술·단답형 19번의 접근 가능성도 확인하세요. 11번과 13번에서 조건 검토가 길어지면 표시하고 넘어간 뒤 돌아오는 연습이 좋습니다. 실제 시험 시간이 자료에 없으므로 고정된 분 단위 배정보다는 연습 중 조건 해석과 계산에 걸린 시간을 따로 기록해 보세요.

함수 문항에서는 정의역·치역과 부호를 검토의 우선순위로 두세요. 10번은 합성의 소거가 가능한 범위, 11번은 제곱 전후의 조건, 13번은 방정식의 차수가 달라지는 경우를 확인해야 합니다. 17번은 축을 기준으로 한 일대일성, 18번은 대칭 좌표의 대응, 21번은 점근선과 구간의 위치가 중요합니다.

경우의 수에서는 구별 여부와 중복을 먼저 확인하세요. 7번은 이름 없는 조, 9번은 선택과 배분, 15번은 같은 색 구슬, 19번은 서로 다른 주사위의 순서가 확인점입니다. 20번은 정사각형의 방향별 분류가 빠지지 않았는지 보세요. 최종 검토 시간을 확보해 계산을 반복하기보다 분류 기준과 누락을 점검하는 데 쓰는 편이 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 기본 정의와 합성 순서를 정리하세요. 대응 그림을 원래 함수와 역함수의 말로 각각 설명해 보세요(1·2·5번 대비).
2. 유리함수와 무리함수의 그래프를 직접 그리세요. 시작점·점근선·정의역·치역을 적고 사분면과 대칭성을 점검하세요(4·6번 대비).
3. 경우의 수 기본형에서 구별 여부를 표시하세요. 약수, 집단 분할, 배열, 선택과 배분, 순서쌍을 나누어 연습하세요(3·7·8·9·12·19번 대비).
4. 합성과 역함수를 방정식 및 그래프로 연결하세요. 치환한 값의 범위와 원래 변수로 돌아오는 과정을 분리해 쓰세요(10·11·14번 대비).
5. 함수의 복합 조건을 단계별로 검토하세요. 판별식의 예외, 순환 대응, 일대일성, 대칭 좌표, 구간의 증가·감소를 연습하세요(13·16·17·18·21번 대비).
6. 경우 분류가 필요한 응용을 마무리하세요. 색별 개수의 범위를 먼저 정하고 격자점 도형은 방향과 크기로 나누어 세어 보세요(15·20번 대비).