화홍고등학교
2022년 1학년 1학기 중간고사

화홍고 1학년 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

화홍고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 출제 범위는 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 여러가지방정식, 이차함수입니다. 다항식의 사칙연산과 인수분해에서 출발해 방정식의 근, 그래프의 교점과 최대·최소까지 연결됩니다.

초반에는 다항식 정리, 음의 제곱근, 판별식, 근과 계수의 관계처럼 대표 개념을 바로 적용하는 문항이 있습니다. 중간에는 나누는 식이 바뀔 때의 몫과 나머지, 계수 합을 얻는 수치 대입, 켤레근을 이용한 계수 결정이 이어집니다. 공식을 알고 있는지와 상황에 맞는 공식을 고르는 능력을 함께 확인할 수 있습니다.

후반에는 계산을 시작하기 전에 조건을 정리해야 하는 문제가 눈에 띕니다. 복소수의 반복 주기를 비교하거나 매개변수에 따라 최댓값을 주는 지점이 바뀌는 경우가 대표적입니다. 서술·단답형도 자동 분류 기준 쉬움부터 어려움까지 있으므로, 형식만 보고 풀이 순서를 정하기보다 실제 접근 가능성을 먼저 살피세요.

난이도 분포 — 객관식 후반의 조건 해석과 서술형의 단계 차이

쉬움 문항은 초반에만 있지 않습니다. 8번의 넓이 최대, 10번의 접점 조건, 서술·단답형 19번의 조립제법도 자동 분류 기준 쉬움입니다. 후반의 긴 조건에 시간을 쓰다가 이런 문항을 놓치지 않도록 전체 구성을 먼저 확인하는 것이 좋습니다.

보통 문항에서는 서로 다른 표현을 연결해야 합니다. 6번은 근의 합을 함수식과 꼭짓점으로, 7번은 나누는 식의 상수배 관계를 나눗셈 항등식으로 옮깁니다. 20번은 최솟값 조건으로 상수를 정한 뒤 최댓값을 따로 판단하므로, 앞 단계의 결과가 다음 단계에서 어떤 역할을 하는지 적어 두세요.

어려움 문항은 객관식 후반과 마지막 서술·단답형에 배치되어 있습니다. 특히 16~18번은 인수정리, 복이차방정식, 자연수 조건처럼 접근 방식이 연속해서 바뀝니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 개인의 체감과 일치한다고 단정할 수 없습니다. 각 문항의 첫 관계식을 빠르게 찾는 연습이 후반 운영에 도움이 됩니다.

출제 단원 — 이차함수의 비중과 인수 구조의 활용

가장 많은 이차함수는 교점, 접점, 넓이 최대, 제한된 범위에서의 최대·최소로 나뉩니다. 5·10번에서는 그래프의 조건을 판별식으로 바꾸고, 14·20번에서는 축과 정의역의 위치를 확인해야 합니다. 21번은 절편에서 만든 함수식에 직선의 기울기와 교점 관계를 연결하므로 그래프를 식으로 표현하는 연습이 중요합니다.

항등식은 무작정 전개하는 방식보다 구조를 먼저 보는 것이 효과적입니다. 9번은 수치 대입으로 필요한 계수만 추리고, 12번은 같은 함수값을 갖는 조건을 인수정리로 바꿉니다. 16번에서는 몫과 나머지의 관계 및 곱의 나누어떨어짐을 함께 사용하므로 조건을 별도의 식으로 쓴 뒤 연결하세요.

다항식과 방정식에서도 인수분해가 반복해서 쓰입니다. 18번은 인수분해한 결과를 자연수의 약수 관계로 해석하고, 19번은 조립제법을 풀이에 드러내야 합니다. 11·15·17번은 켤레근, 허근의 성질, 치환을 구별해 적용해야 하므로 같은 방정식 단원이라도 출발 전략을 나누어 익히세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 이용자 투표로 난도 순위를 확정한 것이 아니라 조건을 연결하는 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 중간에 얻은 관계가 원래 요구를 충분히 만족하는지 확인해야 합니다. 계산 결과만 모으기보다 각 관계를 어디에 사용할지 표시하는 습관이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 기본형과 접근 가능한 서술·단답형을 함께 살피세요. 13·14번에서 풀이 방향이 보이지 않으면 표시하고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 특히 객관식 후반을 모두 해결한 뒤에야 19·20번을 시작하는 방식은 피하고, 기본 계산과 풀이 작성 시간을 미리 확보하세요.

서술·단답형은 결론으로 넘어가는 근거를 짧게라도 남겨야 합니다. 19번은 인수를 확인한 과정과 조립제법, 20번은 축의 위치와 끝점 비교를 드러내세요. 21번은 함수식, 직선식, 교점 방정식을 구별해 적으면 앞 단계의 결과를 다시 찾는 시간을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 조건의 포함 범위를 보세요. 3번의 서로 다른 두 실근과 5번의 축과 만남은 경계 처리부터 다릅니다. 14번은 축이 정의역에 들어가는지, 17번은 실근과 모든 근을 구별했는지 확인하세요. 18번의 자연수 조건과 20번의 제한된 범위도 계산 뒤에 다시 대조해야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 다항식의 부호 처리와 인수분해를 먼저 정리하세요. 인수정리로 후보를 확인하고 조립제법 과정을 직접 쓰는 연습을 하세요(1·19번 대비).
2. 음의 제곱근 연산에서 출발해 복소수의 거듭제곱과 켤레근으로 확장하세요. 주기에서 얻은 후보를 실제 등식에 다시 대입해 확인하세요(2·11·13·15번 대비).
3. 판별식과 근과 계수의 관계를 그래프 조건에 연결하세요. 서로 다른 실근, 실근의 존재, 접점 조건을 구별해 적어 보세요(3·4·5·6·10번 대비).
4. 나눗셈 조건을 항등식으로 바꾸고 수치 대입과 인수정리 중 적절한 방법을 고르세요. 합과 곱의 조건을 함께 사용하는 문제까지 연습하세요(7·9·12·16번 대비).
5. 이차함수는 축과 정의역을 먼저 그린 뒤 최대·최소를 판단하세요. 매개변수 후보를 경우별 범위로 검증하고 교점 문제로 확장하세요(8·14·20·21번 대비).
6. 복이차방정식의 치환과 자연수의 약수 조건을 별도로 연습하세요. 치환 전후의 변수 범위와 인수분해 뒤의 가능한 경우를 빠짐없이 검토하세요(17·18번 대비).