양재고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

양재고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

양재고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합, 여러가지순열입니다. 함수의 기본 정의에서 역함수와 그래프의 성질로 범위가 넓어지고, 경우의 수에서는 배열·분할·색칠을 다룹니다.

함수 영역은 식을 대입하는 능력만으로 마무리하기 어렵습니다. 역함수가 존재하려면 어떤 조건이 필요한지, 수평선과 그래프의 교점이 무엇을 뜻하는지 해석해야 합니다. 특히 정의역을 제한하거나 그래프를 평행이동했을 때 치역이 어떻게 바뀌는지 따로 써 보는 과정이 중요합니다.

경우의 수 영역은 같은 공식의 반복보다 조건에 맞게 세는 단계를 고르는 성격이 두드러집니다. 숫자를 고르는 단계와 배열하는 단계, 조를 나누는 단계와 중복을 제거하는 단계를 구별해야 합니다. 풀이가 길어지면 처음 조건을 다시 확인할 수 있도록 경우를 나눈 기준을 기록하세요.

난이도 분포 — 보통 문항 확보와 후반 조건 해석

쉬움 문항은 1·2·4·19번입니다. 같은 함수의 뜻, 유리함수의 평행이동, 조건을 만족하는 함수의 개수, 역함수의 합성을 확인합니다. 서술·단답형의 시작인 19번도 이 구간이므로 객관식을 끝낸 뒤에야 서술형을 살피는 운영은 피하는 것이 좋습니다.

보통 문항은 3·5·6·7·8·9·11·12·15·16·20·21·23번입니다. 사분면과 역함수의 범위, 좌석 배열과 색칠 조건처럼 개념 구별이 필요한 문제가 포함됩니다. 계산이 익숙하더라도 조건을 생략하면 시행착오가 길어질 수 있습니다.

어려움 문항은 10번에서 등장하고 13·14번, 17·18번과 22번으로 이어집니다. 자동 분류 기준의 분포이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 지표는 아닙니다. 이 구간에서는 교점이나 치역 조건을 중간 단계로 바꾼 뒤 다시 원래 문제로 돌아오는 능력이 필요합니다.

출제 단원 — 순열조합과 함수 조건의 결합

순열조합은 3·10·11·12·15·21번으로 가장 큰 비중을 차지합니다. 자연수 만들기, 대진표, 좌석 배열, 색칠, 조 분할까지 표현이 다양합니다. 여러가지순열의 7번도 함께 복습하되, 순서가 고정된 대상과 자유롭게 바꿀 수 있는 대상을 구별하는 데 초점을 두세요.

유리함수는 평행이동을 묻는 2번에서 시작해 9번의 성질 판단, 17번의 도형 관계, 22번의 정의역·치역 조건으로 확장됩니다. 20번은 분수와 근호가 섞인 식의 계산이므로 그래프 유형과 구분해 연습하세요. 같은 단원명 안에서도 요구하는 풀이 방식이 다릅니다.

합성함수와역함수는 8·13·16·19·23번입니다. 역함수의 그래프와 합성 순서뿐 아니라 정의역·공역·치역의 관계까지 확인합니다. 함수 단원의 18번과 무리함수의 14번 역시 치역을 정확히 이해해야 접근할 수 있어, 기본 정의를 여러 문제에 연결하는 복습이 효과적입니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자료의 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표에 따른 난도 순위는 아닙니다. 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 공통적으로 중간 결과를 얻은 뒤 원래 조건으로 돌아와 한 번 더 확인해야 합니다. 무엇을 먼저 고정하고 무엇을 나중에 세거나 비교할지 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·2·4번과 같이 구조가 바로 보이는 문제를 처리하고, 10번에서 선택 조건 정리가 길어지면 표시한 뒤 다음 문제를 확인하세요. 후반에도 19번의 역함수 계산처럼 접근 가능한 문제가 있습니다. 문제 번호만으로 부담을 판단하지 말고 전체를 훑어 풀이의 출발점이 보이는 문항을 확보하는 연습이 필요합니다.

그래프 문항은 계산 전에 간단한 그림과 범위 표시를 남기세요. 8번은 역함수의 구간 경계, 13번은 꺾은선의 꼭짓점에서 겹치는 교점, 14번은 치역의 시작값을 확인해야 합니다. 22번은 점근선 배제 조건을 먼저 적어야 이후 부등호 처리까지 일관되게 이어갈 수 있습니다.

검토할 때는 경우의 수의 중복과 함수의 범위를 우선 점검하세요. 15번은 꼭짓점에서만 만나는 영역과 변을 공유하는 영역을 구분하고, 21번은 조의 구별 여부를 확인해야 합니다. 23번에서는 단조성이 확보되어도 치역과 공역이 같아야 역함수가 존재한다는 조건이 남습니다. 계산 결과만 다시 보는 것보다 조건 누락을 찾는 검토가 필요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 정의역·공역·치역과 일대일대응을 복습하세요. 같은 함수를 판단하는 기준과 함숫값의 중복 허용 여부를 말로 설명해 보세요(1·4·5·16번 대비).
2. 유리함수의 표준형, 점근선, 평행이동을 연결하세요. 교점의 좌표를 합과 곱으로 나타내는 방법까지 확장해 보세요(2·9·17번 대비).
3. 역함수와 합성함수의 계산 순서를 익히세요. 구간별 함수는 역함수의 범위를 다시 표시하고, 이차함수는 제한된 정의역에서 치역을 구하세요(8·19·23번 대비).
4. 그래프와 수평선의 교점 세기를 연습하세요. 중간 함숫값을 치환하고 치역의 시작값이나 꼭짓점 높이에서 무엇이 바뀌는지 확인하세요(6·13·14번 대비).
5. 경우의 수는 선택·배열·분할을 나누어 정리하세요. 조건을 만족하는 수 묶음과 순서, 이웃 관계, 조의 중복을 따로 확인하세요(3·7·10·11·12·15·21번 대비).
6. 범위와 제외 조건을 끝까지 관리하는 연습을 하세요. 치역에 필요한 값이 실제로 나오는지, 분모가 사라지지 않는지, 부등식의 분모 부호가 무엇인지 점검하세요(18·20·22번 대비).