은광여자고등학교
2022년 2학년 2학기 기말고사

은광여자고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

은광여자고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 회차의 출제 단원은 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 도함수에서 원래 함수를 복원하는 기본형부터 적분으로 정의된 함수의 극값, 속도 그래프와 넓이의 해석까지 포함합니다.

미분과 적분을 따로 계산하는 데서 끝나지 않는 시험입니다. 정적분 문항에서도 도함수의 부호로 함수의 변화를 판단하고, 도함수 활용 문항에서는 근의 개수나 도형 조건을 식으로 옮겨야 합니다. 풀이의 첫 줄에 무엇의 부호와 무엇의 최댓값을 구하는지 적어 두면 대상을 혼동하는 실수를 줄일 수 있습니다.

서술·단답형이 끝에 모여 있지 않다는 점도 확인해야 합니다. 17번은 속도 그래프를 여러 관점에서 읽는 문항이고, 18번은 움직이는 구간의 최대값으로 새 함수를 정의하는 문항입니다. 이후 객관식 19·20번까지 이어지므로 문항 형식과 접근 가능성을 함께 보며 풀이 순서를 정하세요.

난이도 분포 — 중간부터 등장하는 함수 해석의 부담

쉬움으로 분류된 1·3번은 적분상수 결정과 정적분의 기본 성질을 확인합니다. 보통 구간에는 평균값 정리, 넓이의 최적화, 구간별 속도, 정적분의 구간 결합이 포함됩니다. 공식 대입이 가능한지 먼저 판단하되, 적분의 방향과 주어진 조건의 적용 범위를 생략하지 마세요.

8번 이후에도 보통 문항과 어려움 문항이 번갈아 나타납니다. 8번에서 중근 해석이 막혀도 9번의 거리 계산으로 넘어갈 수 있고, 10·11번 이후에는 12·13번을 확인할 수 있습니다. 번호가 뒤라는 이유만으로 풀이를 미루기보다 조건을 식으로 옮길 수 있는 문제부터 확보하는 편이 좋습니다.

후반의 18·19·20번은 자동 분류 기준 어려움이며, 각각 최대값 함수의 구간 분할, 극점과 도형 조건의 연결, 절댓값 함수의 미분가능성을 다룹니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수 없습니다. 다만 계산에 앞서 함수의 형태를 결정하는 단계가 필요하다는 점은 공통적입니다.

출제 단원 — 도함수 활용과 적분의 연결

가장 많은 도함수의활용은 2·7·11·13·14·16·19·20번입니다. 평균변화율과 접선에서 출발해 방정식의 근 개수, 중근을 갖는 함수, 극점의 기하적 관계로 확장됩니다. 도함수의 영점만 찾는 연습보다 영점 좌우의 부호와 원래 함수의 위치를 함께 그리는 연습이 필요합니다.

정적분은 3·4·8·10·12·18번입니다. 같은 구간의 적분을 합치는 기본 성질뿐 아니라 주기함수, 적분으로 정의된 함수, 최대값으로 정의된 함수가 등장합니다. 적분을 무조건 전개하기보다 구간의 합과 차, 한 주기에서 상쇄되는 부분을 먼저 찾아야 합니다.

정적분의활용은 5·9·15·17번으로 넓이와 운동을 다룹니다. 넓이는 위아래 함수의 차를, 이동거리는 속도의 절댓값을 적분한다는 구별이 중요합니다. 부정적분의 1·6번은 적분상수에 주어진 조건을 적용하는 기본을 확인하므로, 복합 문항에 들어가기 전 정확히 마무리할 부분입니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건 처리 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 함수를 먼저 확정하거나 구간별 형태를 정한 뒤 계산한다는 데 있습니다. 경우를 나누는 근거를 적고, 각 경우에서 도출한 식을 원래 조건에 대조하는 연습을 하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 적분 계산과 조건 대입이 바로 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 8번이나 10·11번에서 함수 형태를 정하는 데 시간이 길어지면 표시하고 뒤의 보통 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 전체 시험 시간이 자료에 없으므로 일정한 분 단위 배분보다, 조건 정리에서 막힌 문제와 계산만 남은 문제를 구별하는 연습을 권합니다.

서술·단답형 17·18번을 확인할 시간을 따로 남기세요. 17번은 위치 변화량과 이동거리, 원점에서의 거리를 각각 구별해 적어 두면 요구 대상을 빠뜨리지 않을 수 있습니다. 18번은 새 함수의 구간별 정의와 경계에서의 값이 연결되는 이유를 먼저 정리한 뒤 적분 계산을 진행하세요.

검토할 때는 계산을 처음부터 반복하기보다 경계와 부호를 확인하세요. 7번은 엄격한 부등호, 11번은 시간의 범위, 14번은 극값에 해당하는 높이에서의 교점 수를 점검해야 합니다. 16번은 집합에서 중복된 근을 다시 세지 않았는지, 20번은 도함수의 영점에서 실제 부호가 바뀌는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부정적분 뒤에 적분상수를 남기고 함수값이나 나머지 조건으로 필요한 상수 관계를 정하세요. 상수를 각각 구해야 하는지도 먼저 판단하세요(1·6번 대비).
2. 정적분의 방향, 대칭성, 구간의 합과 차를 묶어 연습하세요. 긴 구간을 계산하기 전에 겹치는 구간과 상쇄되는 구간을 표시하세요(3·12번 대비).
3. 도함수의 부호표로 최솟값과 수평선의 교점 수를 설명하세요. 접하는 높이와 그 사이의 높이를 구별하고 정의역 제한을 함께 적으세요(7·11·14번 대비).
4. 넓이와 운동 문제에서는 먼저 위아래 관계 또는 속도의 부호를 정하세요. 넓이의 같음과 부호 있는 적분의 관계도 설명해 보세요(5·9·15·17번 대비).
5. 적분으로 정의된 함수를 미분하고 주기 구간으로 줄이는 연습을 하세요. 극값 후보에서는 도함수의 부호 변화까지 확인하세요(8·10번 대비).
6. 함수와 도함수의 공통근, 극점의 좌표 조건을 식으로 옮기세요. 중근의 중복도와 집합의 원소를 구별하며 계수 관계를 정리하세요(13·16·19번 대비).
7. 절댓값과 최대값으로 정의된 함수는 먼저 경우를 나누세요. 끝점 비교와 영점에서의 기울기 검사를 마친 뒤 적분이나 미분가능성을 판단하세요(18·20번 대비).