영파여자고등학교
2025년 2학년 2학기 기말고사

영파여자고 2학년 2학기 기말 수학II는 어떤 시험인가

영파여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 미분계수와도함수, 도함수의활용, 부정적분, 정적분, 정적분의활용입니다. 미분을 이용한 운동·극값·접선 해석과 적분으로 정의된 함수의 성질을 함께 준비해야 합니다.

초반에는 적분 구간의 성질, 부정적분의 정의, 위치와 가속도의 관계처럼 개념을 바로 적용하는 문제가 있습니다. 뒤로 가면 같은 미분 계산도 실근의 개수나 절댓값 함수의 미분가능성을 해석하는 도구가 됩니다. 계산 공식을 아는 것에 더해 주어진 조건이 어떤 그래프 구조를 뜻하는지 읽어야 합니다.

서술·단답형은 정사각형의 공통부분을 넓이 함수로 만드는 문항과 이동하는 적분 구간을 나누는 문항입니다. 식을 세우는 근거와 식이 유효한 범위를 함께 적는 연습이 필요합니다. 객관식에서 얻은 부호 판단 습관이 마지막 문항까지 이어지는 구성입니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움은 1~4번으로, 적분의 기본 성질과 미분의 의미를 정확히 아는지 확인합니다. 1번은 복잡해 보이는 피적분함수보다 구간을 먼저 봐야 하고, 4번은 부정적분을 실제로 구하기 전에 미분 관계를 읽으면 됩니다. 기본 문항에서 불필요한 전개를 줄이는 것이 후반 시간 확보에 도움이 됩니다.

보통은 5~9번과 12번입니다. 평균값 정리, 항상 성립하는 부등식, 적분과 미분의 연결, 이동 거리, 부피 변화율처럼 적용 상황이 다양합니다. 10·11번에서 막히더라도 보통으로 분류된 12번을 확인하세요. 번호가 뒤라는 이유만으로 풀이를 미루면 접근 가능한 문제를 놓칠 수 있습니다.

13~20번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 접선과 거리, 실근 개수 함수, 절댓값과 미분가능성, 구간별 적분이 이어집니다. 이 분류를 실제 체감 난도와 동일하게 단정할 수는 없지만, 계산에 들어가기 전 조건 정리에 시간이 필요한 구간이라는 점은 풀이 구조에서 확인됩니다.

출제 단원 — 도함수의 활용을 중심으로 연결되는 미분과 적분

도함수의활용은 전체의 절반입니다. 3번의 가속도에서 7번의 최솟값, 11번의 운동 방향과 위치 조건, 13·14번의 접선, 15번의 실근 개수, 17번의 함수 복원, 19번의 넓이 최대화로 이어집니다. 미분한 뒤 무엇을 판단할지까지 묶어서 공부해야 같은 단원 안의 다양한 표현에 대응할 수 있습니다.

정적분은 1·6·8·18·20번으로, 기본 성질과 적분으로 정의된 함수가 함께 나옵니다. 6·8번에서 미분과 적분의 연결을 익힌 뒤 18번의 절댓값·극값 판단, 20번의 이동 구간으로 확장하세요. 정적분의활용인 9·10번에서는 부호 있는 적분값과 실제 거리·넓이를 구별하는 것이 공통 과제입니다.

부정적분은 2·4번이며 계산과 정의를 각각 확인합니다. 미분계수와도함수는 16번으로 문항 수는 적지만, 경계에서의 연속과 미분가능성을 중근 조건으로 바꾸어야 합니다. 단원 비중이 낮다고 제외하면 후반의 함수 조건 해석을 준비하기 어렵습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 문항의 증가와 도함수 활용의 확대

작년과 올해는 모두 수학II이며 총 문항 수와 서술·단답형 구성이 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 5문항에서 올해 10문항으로 늘고, 보통은 10문항에서 6문항으로 줄었습니다. 같은 문항 수라도 조건 해석에 필요한 시간을 넉넉히 확보하는 연습이 중요해졌다고 볼 수 있습니다.

도함수의활용은 작년 7문항에서 올해 10문항으로 늘었습니다. 정적분의활용은 작년 6문항에서 올해 2문항으로 줄었고, 정적분은 양쪽 모두 5문항입니다. 넓이·거리의 기본을 유지하면서 접선, 함수 복원, 극값과 실근 개수처럼 도함수를 여러 조건에 연결하는 유형을 강화하세요.

작년 어려움 문항은 15~18번과 20번이었지만 올해는 10·11번부터 등장하고 13~20번으로 이어집니다. 작년에는 보통이던 19번도 올해는 어려움으로 분류됩니다. 다음 시험을 준비할 때는 어려운 문제를 마지막 번호에만 예상하지 말고, 전체를 훑어 풀이 순서를 정하는 연습을 병행하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 중 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표에 따른 난도 순위로 확정한 것은 아닙니다. 공통적으로 계산 전에 그래프의 경계나 인수의 중복을 정리해야 하며, 계산 뒤에도 처음 나눈 경우에 결과가 맞는지 검토해야 합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~9번의 기본 개념과 계산을 안정적으로 처리하고, 10·11번에서 접근이 길어지면 표시한 뒤 12번을 확인하세요. 이후 객관식 후반과 서술·단답형을 함께 훑어 출발점이 보이는 문항을 고르세요. 전체 시험 시간이 자료에 없으므로 일률적인 분 단위 배분보다, 연습 때 조건 해석과 계산 시간을 구별해 기록하는 방식이 적절합니다.

부호를 확인할 지점을 먼저 표시하면 검토 시간을 줄일 수 있습니다. 9·11번은 속도의 근에서 실제로 방향이 바뀌는지, 14·18번은 도함수의 부호가 달라지는지 보세요. 16·17번은 절댓값이나 식의 부호 변경이 함수값과 기울기에 미치는 영향을 구별해야 합니다. 도함수의 근만 나열하고 극값 판단을 끝내지 마세요.

서술·단답형에는 식을 세운 이유를 남기세요. 19번은 공통부분이 존재하는 범위와 가로·세로 길이, 20번은 적분 구간과 경계의 위치 관계가 출발점입니다. 최종 검토에서는 양수 조건, 경계 포함 여부, 서로 다른 근의 중복 계산을 확인하세요. 풀이 도중 세운 가정이 마지막에도 유지되는지 되짚는 것이 중요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 부정적분의 정의와 정적분의 구간 성질을 먼저 복습하세요. 계산 전에 성질만으로 정리할 수 있는지 확인하세요(1·2·4번 대비).
2. 미분과 적분의 연결을 익히세요. 적분으로 정의된 함수의 미분과 미분계수 형태의 극한을 연결해 설명해 보세요(6·8번 대비).
3. 운동과 변화율은 변수 관계부터 적으세요. 위치·속도·가속도를 구별하고 이동 거리의 절댓값과 부피의 곱의 미분을 연습하세요(3·9·11·12번 대비).
4. 도함수의 부호표로 최솟값과 접선 조건을 정리하세요. 항상 성립하는 부등식, 평행 접선의 거리, 함수와 접선의 차를 차례로 풀어 보세요(5·7·13·14번 대비).
5. 실근 개수와 미분가능성을 그래프로 설명하세요. 경계점과 열린구간을 구별하고 단순근·중근에서 절댓값의 모양이 어떻게 달라지는지 확인하세요(15·16·17·18번 대비).
6. 넓이와 구간별 함수는 그림에서 시작하세요. 보조 영역의 차, 도형의 공통부분, 이동 적분 구간을 식과 범위로 함께 정리하세요(10·19·20번 대비).