중앙대학교사범대학부속고등학교
2026년 2학년 1학기 기말고사

중앙대학교사범대학부속고 고2 1학기 기말 기하는 어떤 시험인가

중앙대학교사범대학부속고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 시험은 평면벡터의 연산과 내적, 공간도형의 수직·정사영, 공간좌표의 직선·평면·구를 다룹니다. 평면의 그림과 공간의 좌표식을 오가며 같은 조건을 다른 표현으로 바꾸는 능력이 필요합니다.

초반에는 평행 조건의 계수 비교와 벡터 크기의 전개처럼 풀이 방향이 뚜렷한 문항이 있습니다. 중반부터는 중점이나 무게중심을 찾아 벡터식을 단순화하고, 원이나 선분의 자취로 해석해야 계산이 줄어듭니다. 공식을 알고 있어도 적용할 도형을 찾지 못하면 시간이 길어질 수 있습니다.

객관식과 서술·단답형이 뒤쪽에서 섞여 있는 구성입니다. 15~18번을 지나면 19번 객관식이 나오고, 20·21번 서술·단답형 뒤에 22번 객관식이 남습니다. 번호만 보고 답안 형식을 예상하지 말고, 각 문항의 요구를 확인하며 풀어야 합니다.

난이도 분포 — 중반의 벡터 해석과 후반의 공간 조건

자동 분류 기준 쉬움인 1·2·4번은 평행 조건, 직선의 방향벡터, 내적 전개의 기본기를 확인합니다. 보통인 3·5·6번도 완전제곱이나 좌표 조건, 정육각형의 벡터 관계를 차근차근 정리하면 접근할 수 있습니다. 초반에는 계산 부호와 좌표 순서를 정확히 쓰는 것이 우선입니다.

7번에서 삼수선과 정사영의 연결이 등장하고, 10번은 도형 내부라는 조건을 따져야 합니다. 이어지는 12~14번은 이동 범위, 원의 중심, 직교하는 기준벡터 등 서로 다른 해석이 요구됩니다. 이 구간에서 풀이가 막히면 뒤의 보통 문항을 먼저 확보하는 편이 좋습니다.

후반에는 18번의 단위벡터 자취, 19번의 공간 단면, 21번의 구의 변환, 22번의 대칭이동과 수선의 발이 남습니다. 반면 20번은 내분점과 내적을 정리하는 보통 문항입니다. 뒤쪽을 모두 같은 난도로 여기지 않고 먼저 풀 수 있는 문항을 구별하세요.

출제 단원 — 평면벡터를 바탕으로 공간 해석까지

평면벡터는 내적을 계산하는 기본형부터 조건을 자취로 바꾸는 문제까지 폭이 넓습니다. 특히 12·13·18번에서는 선분이나 원, 단위원의 호를 찾아야 최대·최소를 판단할 수 있습니다. 연산 연습과 함께 벡터식의 기하적 의미를 말로 설명하는 훈련이 필요합니다.

공간좌표는 구의 중심과 반지름, 대칭이동, 내분점을 다룹니다. 15번은 평면을 사이에 둔 점의 위치에 따라 최단 경로를 나누고, 21번은 내분점이 나타내는 새로운 구를 찾아야 합니다. 공간도형은 수직 관계를 확인한 뒤 정사영의 길이와 넓이로 이어지는 풀이가 중심입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 평면벡터를 공통 바탕으로 범위가 달라졌습니다

작년과 올해 모두 기하이지만, 작년에는 평면벡터와 이차곡선이 중심이었고 올해는 평면벡터에 공간좌표·공간도형이 더해졌습니다. 공통 단원인 평면벡터는 작년과 올해 모두 중요한 비중을 차지합니다. 이차곡선 문항을 그대로 공간 문항과 같은 유형으로 보기는 어렵습니다.

총 문항과 서술·단답형이 늘었고 자동 분류 기준 어려움 문항 수도 증가했습니다. 작년의 어려움은 5번부터 후반까지 흩어져 있었으며, 올해는 7번부터 시작해 12~14번에 연속 배치되고 21·22번까지 이어집니다. 다음 시험에는 평면벡터의 해석을 유지하면서 공간의 수직·정사영과 좌표 계산을 함께 연습하세요.

같은 지역 학교와 비교 — 강남구의 평면벡터 중심 시험들

같은 연도·학년·학기·시험·과목의 강남구 이웃 학교 평균은 총 20.0문항, 서술·단답형 4.0문항, 자동 분류 기준 어려움 비율 26%입니다. 이번 시험은 문항 수와 서술·단답형이 모두 그보다 많고, 어려움 비율은 41%로 5개교 중 1위입니다. 이는 자동 분류에 따른 문항 구성의 차이를 뜻합니다.

비교한 학교는 모두 평면벡터가 가장 많은 단원입니다. 가장 큰 단원 이름만으로는 학교별 세부 구성이 같다고 볼 수 없습니다. 이 시험을 준비할 때는 평면벡터의 기본 연산에 더해 12·13·18번의 자취 해석, 19·21·22번의 공간 조건 연결까지 연습 범위를 넓히는 것이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항의 공통점은 계산 전에 움직일 수 있는 위치나 방향을 확정해야 한다는 것입니다. 새로운 식을 전개하기에 앞서 그림에 이동 범위와 수직 표시를 남기세요. 여기서 꼽은 문항은 풀이 구조에 따른 분석상 고난도 문항이며 이용자 투표로 확정한 순위는 아닙니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1·2·4번의 기본형을 정확히 풀고, 3·5·6번은 조건을 짧게 정리하며 진행하세요. 7번에서 공간 그림이 잡히지 않으면 표시하고 보통 문항으로 이동하는 연습이 필요합니다. 시험 시간이 명시되어 있지 않으므로 고정된 분 단위보다 풀이 방향이 보이는지를 기준으로 넘어갈 문항을 정하세요.

12~14번에서 시간을 모두 쓰지 않도록 15·16·17·20번에 돌아올 여유를 남겨야 합니다. 서술·단답형은 번호가 연속하지 않으므로 답안 작성 위치도 함께 확인하세요. 풀이를 적을 때는 기준벡터의 정의, 점의 위치 조건, 사용한 수직 관계를 먼저 남기면 검산할 때도 도움이 됩니다.

검토는 계산을 반복하기보다 조건을 되짚는 데 집중하세요. 10번은 내부 조건, 12번은 부등식의 경계, 15번은 평면을 기준으로 한 위치와 경계 경우, 18번은 가능한 호의 범위를 확인해야 합니다. 21번에서는 변환 전후 구를 구별하고 22번에서는 법선벡터와 방향벡터를 바꾸어 쓰지 않았는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 벡터의 평행 조건과 내적 전개를 먼저 다지세요. 계수 비교와 크기의 제곱 전개를 정확히 쓰는 연습입니다(1·4번 대비).
2. 같은 시점의 위치벡터로 통일하세요. 중점·무게중심·내분점을 기준벡터로 표현한 뒤 도형의 관계를 읽어 보세요(6·14·16·17·20번 대비).
3. 내적 조건을 직선·원·선분으로 바꾸세요. 영역의 교집합과 끝점 포함 여부를 먼저 표시한 뒤 최대·최소를 판단하세요(10·12·13번 대비).
4. 단위벡터의 방향 범위를 연습하세요. 원점에서 원에 그은 접선과 단위원의 호를 함께 그리는 것이 핵심입니다(18번 대비).
5. 삼수선·이면각·정사영을 단면 그림으로 정리하세요. 길이의 정사영과 넓이의 정사영을 구분해 적용하세요(7·8·9·19번 대비).
6. 공간좌표는 대칭이동과 구의 변환을 묶어 복습하세요. 점의 위치에 따른 경우 나누기, 변환된 중심과 반지름, 수선의 발을 차례로 확인하세요(2·3·5·11·15·21·22번 대비).