잠실고등학교
2026년 2학년 1학기 기말고사

잠실고 2학년 1학기 기말 기하는 어떤 시험인가

잠실고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 시험은 공간좌표와 평면벡터를 중심으로 공간도형, 이차곡선까지 다룹니다. 단원 이름뿐 아니라 구의 방정식, 정사영, 내적, 무게중심이 실제 문제에서 어떻게 연결되는지 확인해야 하는 범위입니다.

초반에는 성분 연산과 내적의 전개, 법선벡터와 방향벡터를 확인합니다. 이후에는 내적 조건에서 원을 찾거나 구의 단면을 직각삼각형으로 바꾸는 식의 해석이 필요합니다. 공식을 알고 있어도 어떤 거리와 벡터에 적용할지 정하지 못하면 풀이가 길어집니다.

서술·단답형이 17번부터 이어지는 가운데 19번은 객관식입니다. 번호만 보고 후반을 한 덩어리로 미루면 보통 문항까지 놓칠 수 있습니다. 난이도는 자동 분류 기준이며, 실제 체감은 공간도형을 좌표나 벡터로 바꾸는 숙련도에 따라 달라질 수 있습니다.

난이도 분포 — 초반 기본형 이후 어려움이 교차하는 구성

1~4번은 기본 공식을 적용하는 구간입니다. 성분 부호와 방향벡터의 비례 관계를 정확히 확인하며 시간을 확보하세요. 쉬움으로 분류됐더라도 대칭형 직선의 식에서 방향을 잘못 읽거나 평면 사이의 각을 잘못 선택하면 계산 전체가 어긋납니다.

5~14번에는 보통 문항 사이에 어려움인 8·10번이 끼어 있습니다. 보통 문항도 단순 대입만으로 끝나지는 않습니다. 원의 자취, 무게중심, 구의 단면처럼 조건을 먼저 정리하면 계산이 짧아지는 유형이므로 해석을 생략한 무리한 전개를 피하세요.

15번 이후에는 어려움 문항이 여러 형식으로 이어집니다. 다만 17번의 대칭이동을 이용한 최소 거리, 20번의 수선과 구의 거리 관계는 보통으로 분류됩니다. 앞의 어려운 문항에 막혔을 때 이 문항들로 이동하는 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 공간좌표와 평면벡터를 우선 완성

공간좌표에서는 구와 평면·직선이 만드는 관계가 반복됩니다. 접한다는 조건을 중심에서의 거리로 바꾸고, 단면의 반지름과 구의 반지름을 구분하는 연습이 중요합니다. 7·11·14·20번을 묶어 풀면서 각 문제의 직각삼각형을 직접 표시해 보세요.

평면벡터로 분류된 문항에도 직육면체와 정사면체가 등장합니다. 12·21번은 공간 그림을 쓰지만 해법의 중심은 무게중심의 위치벡터와 벡터 연산입니다. 단원명만 보고 평면의 좌표 계산만 연습하기보다 공간에 놓인 벡터에도 같은 원리가 적용되는지 점검하세요.

공간도형의 3·4번은 법선벡터와 방향벡터의 기본 관계를 확인합니다. 이차곡선은 19번뿐이지만 어려움으로 분류되므로 제외할 수 없습니다. 쌍곡선의 정의와 직선의 교점 조건을 연결하는 별도 연습이 필요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목 차이를 고려한 구성 변화

작년 같은 학년·학기 기말고사는 수학I이고 올해는 기하입니다. 따라서 같은 단원의 출제 증감을 비교할 수는 없습니다. 작년의 수열·삼각함수 중심 준비를 그대로 이어가기보다, 올해 범위의 거리·수직·벡터 조건에 맞게 학습 내용을 다시 구성해야 합니다.

자동 분류 기준 어려움은 작년 11문항에서 올해 7문항으로 줄고, 서술·단답형은 1문항에서 4문항으로 늘었습니다. 작년에는 13~21번이 어려움으로 이어졌지만 올해는 후반의 17·20번이 보통입니다. 과목이 다른 만큼 이 변화만으로 시험의 체감 난도가 낮아졌다고 단정하기는 어렵습니다.

다음 시험 준비에서는 어려운 문제 수만 보지 말고 풀이 근거를 적는 연습을 함께 하세요. 대칭이동의 등호 성립 조건이나 방향벡터를 법선벡터로 쓰는 이유를 말로 설명한 뒤 식으로 옮기면 서술·단답형에 대응하기 좋습니다.

같은 지역 학교와 비교 — 송파구의 기하 기말고사

같은 2026학년도 2학년 1학기 기말고사 기하를 치른 송파구 학교들과 비교하면, 잠실고의 총 문항 수는 지역 평균 21.2문항과 가깝고 서술·단답형은 평균 4.6문항보다 적습니다. 자동 분류 기준 어려움 비율은 지역 평균 27%보다 높은 33%로, 6개교 중 3위입니다.

가장 많은 단원은 잠실고와 배명고가 공간좌표, 영파여자고·정신여자고·창덕여자고가 평면벡터, 보성고가 공간도형입니다. 잠실고 학생은 공간좌표의 구와 거리 유형을 우선 다지면서 벡터 해석을 함께 연습하세요. 다른 학교 문제를 풀 때도 단원 구성에 맞춰 골라야 이 시험 대비에 연결됩니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 식을 세우기 전에 대상의 위치와 가능한 움직임을 해석해야 한다는 공통점이 있습니다. 계산을 시작하기 전 거리의 최적화인지, 방향의 범위인지, 벡터의 크기인지 먼저 구분하세요. 이용자 투표로 확정한 순위가 아니라 풀이 구조에 따른 분석상 고난도 문항입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1~4번의 기본형을 정리하고, 8·10번에서 접근이 보이지 않으면 표시해 두고 보통 문항을 이어 가세요. 시험 시간이 별도로 확인되지 않았으므로 고정된 분 단위 목표보다 기본형 처리, 보통 문항 확보, 고난도 재도전, 검산의 순서를 연습하는 편이 좋습니다.

17·18번 이후에 객관식 19번이 있고 다시 20·21번이 이어집니다. 답안 형식을 확인하며 17·20번을 끝까지 검토할 여유를 남기세요. 서술·단답형은 요구 형식에 맞추되, 연습할 때에는 수선의 발과 내분점의 역할, 거리식의 근거를 남겨 풀이를 점검하세요.

7번에서는 중심 좌표의 부호, 10번에서는 외분점의 위치, 17번에서는 반사한 선분과 평면의 교점을 확인해야 합니다. 20번은 원 위의 점이 구 안에 있는지 밖에 있는지에 따라 거리 해석이 달라집니다. 21번에서는 마지막 크기 계산 전에 벡터 방향과 내적의 부호를 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 성분과 내적의 기본 계산을 정리하세요. 그림의 방향을 성분 부호로 읽고 크기의 제곱을 전개하는 습관을 만드세요(1·2번 대비).
2. 법선벡터와 방향벡터를 구분하세요. 평면의 각, 직선의 평행, 교선에 수직인 평면을 차례로 연결하세요(3·4·18번 대비).
3. 내적과 벡터 합의 조건에서 원이나 내분점을 찾아보세요. 기준점을 통일하고 외분점의 위치까지 그림에 표시하세요(5·6·10·16번 대비).
4. 구의 중심과 수선의 발, 단면 반지름을 함께 표시하세요. 접하는 조건과 직선이 만드는 현의 길이를 거리 관계로 바꾸세요(7·11·14·20번 대비).
5. 입체의 좌표 설정과 위치벡터를 나란히 연습하세요. 정사영으로 높이를 구하는 방법과 내적 전개를 비교하세요(12·13·15·21번 대비).
6. 대칭이동으로 최소 거리를 구하고, 단면 넓이의 최대 조건을 검토하세요. 최적 위치가 실제 조건을 만족하는지도 적어 보세요(8·9·17번 대비).
7. 쌍곡선의 정의를 벡터 내분 관계와 연결하세요. 자취의 거리 조건을 얻은 뒤 교점의 가지와 경계 방향을 따로 확인하세요(19번 대비).