청원여자고등학교
2026년 2학년 1학기 기말고사

청원여고 고2 1학기 기말 기하는 어떤 시험인가

청원여자고등학교는 서울 노원구에 있습니다. 이 회차에서 확인되는 출제 범위는 평면벡터, 공간도형, 공간좌표, 이차곡선입니다. 벡터의 성분 계산부터 내분점과 내적, 직선·평면의 각, 정사영과 구의 단면까지 다룹니다.

기본 공식 하나로 출발하는 문항과 도형을 새롭게 해석해야 하는 문항이 함께 있습니다. 예를 들어 벡터의 수직 조건을 성분으로 계산하는 문제에서 시작하지만, 뒤에서는 접힌 도형의 내적을 정사영으로 바꾸거나 단위벡터의 자취를 호로 해석해야 합니다.

객관식에서는 평면벡터의 비중이 크고, 서술·단답형에서는 구와 원의 거리 관계까지 사고 대상을 넓힙니다. 평면 계산에만 익숙해지기보다 공간도형에서 어떤 선분이 수직인지 설명하는 연습을 함께 해야 후반 문항에 대응하기 좋습니다.

난이도 분포 — 객관식 후반과 서술·단답형에 이어지는 어려움

자동 분류 기준 쉬움은 1~3번입니다. 대칭이동의 좌표 부호, 수직인 벡터의 내적, 일직선 위의 점을 나타내는 실수배 관계를 확인합니다. 짧은 문제에서도 기준점과 벡터의 방향을 먼저 쓰면 부호 실수를 줄일 수 있습니다.

보통 문항은 공간의 각과 정사영, 도형 속 벡터 표현을 다룹니다. 특히 6·7번은 공식을 아는 것과 도형에서 필요한 길이를 찾아내는 것이 별개입니다. 16번도 보통으로 분류되므로 앞선 어려움 문항에 막혔다고 서술·단답형 전체를 미루지 마세요.

13~15번과 17~21번에는 어려움 문항이 이어집니다. 이 분류는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다. 학습할 때는 번호보다 식을 세우기까지 필요한 도형 해석과 조건 확인 과정을 기준으로 복습하세요.

출제 단원 — 평면벡터 중심, 공간좌표는 후반 응용

평면벡터는 성분 연산뿐 아니라 도형의 길이비를 벡터의 계수로 바꾸는 문제가 반복됩니다. 3·5·11·12·15번을 묶어 보면 일직선 조건, 격자, 내분점, 내심, 정오각형의 닮음이 서로 다른 출발점이 됩니다. 계수 비교 전에 비례 관계를 확보하는 연습이 중요합니다.

공간도형은 직선과 평면의 방향 관계를 내적으로 표현하고 정사영을 구하는 흐름입니다. 공간좌표는 초반의 대칭이동과 후반의 구·원 문제가 성격을 달리합니다. 18·20·21번을 대비할 때는 중심과 반지름을 찾는 계산에 수선의 발과 입체의 배치 조건을 더하세요.

이차곡선은 10번에서 포물선과 직선의 교점을 다룹니다. 비중이 작아도 서로 다른 교점의 존재 조건과 근과 계수의 관계를 함께 써야 합니다. 단원별 문제 수만 보고 제외하기보다 내적의 최적화와 연결해 정리하는 편이 좋습니다.

문항별 정리

각 문항의 핵심 접근과 확인할 조건을 정리했습니다. 난이도 표시는 모두 자동 분류 기준입니다.

작년 시험과 비교 — 과목 차이를 전제로 보는 구성

작년 자료는 수학I이고 올해는 기하이므로 과목이 다릅니다. 분류된 단원에 공통 단원이 없어 단원 비중의 증감을 직접 비교할 수 없습니다. 표의 최다 단원은 각 시험의 구성을 보여 주는 정보로만 읽어야 합니다.

총 문항 수는 같지만 서술·단답형은 4문항에서 6문항으로 늘었습니다. 자동 분류 기준 어려움은 12문항에서 10문항으로 줄고 보통은 같지만, 과목이 다르므로 이를 근거로 올해 시험이 더 쉬웠다고 단정할 수 없습니다.

작년 어려움 문항은 객관식 초반에도 있었고 서술·단답형 18~20번에 이어졌습니다. 올해는 13~15번과 17~21번에 연속됩니다. 다음 대비에서는 올해 기하의 도형 해석을 중심에 두고 후반 서술·단답형을 끝까지 풀 시간을 확보하는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 공간이나 움직임을 더 단순한 도형 관계로 바꾼 뒤 계산한다는 공통점이 있습니다. 수직인 성분 제거, 접선으로 정하는 방향 범위, 현의 중점이라는 보조 구조를 먼저 찾으세요. 이용자 투표로 정한 순위가 아닌 분석상 고난도 문항 선정입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~3번의 기본 계산을 안정적으로 끝내고, 접근이 보이는 보통 문항을 확보하세요. 8·10번에서 최대·최소의 식이 잡히지 않으면 이동 범위나 교점 조건만 표시하고 다음으로 넘어갑니다. 재도전할 때 필요한 출발점을 남기는 방식입니다.

13~15번을 연속해서 붙잡기 전에 16번과 후반 문항의 내용을 확인하세요. 서술·단답형에는 계산 외에 자취의 범위와 등호 성립 이유를 정리할 시간이 필요합니다. 연습에서는 식을 세우는 데 걸린 시간과 실제 계산 시간을 나누어 기록하면 보완할 부분이 드러납니다.

검토할 조건은 8번의 선분 범위, 9번의 여각과 양수 조건, 10번의 서로 다른 교점, 13번의 크기와 제곱 구분입니다. 후반에서는 17번의 자취 중복, 18번의 가능한 평면, 20번의 꼭짓점 방향, 21번의 가장 먼 점의 위치까지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 대칭이동과 벡터의 성분 연산을 먼저 점검하세요. 축·평면별 부호 변화와 벡터를 빼는 순서를 말로 설명해 봅니다(1·2번 대비).
2. 도형의 길이비를 위치벡터로 옮기세요. 일직선, 내분점, 각의 이등분선, 정오각형의 닮음을 순서대로 연결합니다(3·5·11·12·15번 대비).
3. 방향벡터와 법선벡터로 각과 정사영을 정리하세요. 수직인 선분을 그림에 표시한 뒤 계산하는 습관을 들입니다(4·6·7·9·16번 대비).
4. 내적을 매개변수의 식으로 바꾸어 최적화하세요. 선분 범위, 교점 존재, 크기의 제곱을 다루는 이유를 함께 기록합니다(8·10·13·19번 대비).
5. 접힌 도형과 단위벡터의 자취를 해석하세요. 수직 성분과 방향 범위를 먼저 정하고 계산으로 넘어갑니다(14·17번 대비).
6. 구와 원의 거리 문제를 서술·단답형으로 연습하세요. 중심·반지름, 수선의 발, 등호가 가능한 위치까지 정리하며 시간을 재고 풀어 봅니다(18·20·21번 대비).