중앙대학교사범대학부속고등학교
2022년 2학년 1학기 기말고사

중앙대학교사범대학부속고 2학년 1학기 기말 기하는 어떤 시험인가

중앙대학교사범대학부속고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 시험의 출제 단원은 평면벡터이며, 벡터의 기본적인 뜻에서 내적의 도형적 활용까지 다룹니다. 단원이 하나라고 해서 같은 계산이 반복되는 구성은 아닙니다.

초반에는 벡터의 방향과 위치벡터의 차, 내적의 전개, 법선벡터를 확인합니다. 이후에는 힘을 성분으로 분해하거나 격자 그림을 벡터로 나타내고, 벡터 조건에서 점의 자취와 넓이를 읽는 능력을 요구합니다. 개념별 공식을 외우는 데서 더 나아가 어떤 표현으로 바꿀지 결정해야 합니다.

서술·단답형에는 벡터의 정의를 구별하는 문제와 평행함을 보이는 문제도 포함됩니다. 복잡한 수식만 준비하기보다 성분을 정하는 근거, 실수배 관계, 수직인 벡터의 내적을 문장으로 설명하는 연습이 필요합니다. 계산 결과에 이르는 관계를 짧고 분명하게 남기는 것이 중요합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반의 해석과 서술형의 기본 근거

쉬움은 객관식 초반과 서술·단답형 앞부분에 배치되어 있습니다. 다만 쉬움으로 분류된 문제에서도 벡터의 시작점과 끝점, 방향벡터와 법선벡터의 역할을 뒤집으면 오류가 납니다. 13번의 같은 벡터와 반대 방향 벡터, 14번의 평행 조건처럼 정의를 정확히 쓰는 연습을 먼저 하세요.

보통 구간에서는 표현을 바꾸는 단계가 늘어납니다. 6번은 힘의 방향을 성분으로, 8·9번은 벡터의 합을 중점 관계로, 11번은 계수의 범위를 평면 영역으로 옮깁니다. 계산이 길어 보일 때에는 전개에 앞서 대칭이나 중점이 드러나는지 살펴보는 것이 좋습니다.

어려움으로 분류된 10·12번은 각각 자취와 도형의 위치 관계를 먼저 해석해야 합니다. 그러나 그 사이의 11번과 뒤의 서술·단답형까지 모두 같은 부담이라고 생각할 필요는 없습니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며, 실제 체감 난도는 도형 해석과 벡터 계산 중 어느 쪽에 익숙한지에 따라 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 평면벡터 안에서 연결되는 연산과 도형

평면벡터가 전체 16문항을 차지합니다. 단원별 비중을 나누어 공부하기보다는 벡터의 연산, 위치벡터, 내적이라는 개념 축을 세워 복습하세요. 1·2번에서 배운 방향과 차의 의미가 7번의 벡터 표현, 14번의 평행 증명에도 이어집니다.

도형의 중심과 점의 위치를 읽는 연습도 필요합니다. 8·9번은 중점으로 벡터의 합을 정리하고, 10·16번은 내적 조건을 원의 자취와 연결합니다. 11번의 평행사변형, 12번의 사다리꼴, 15번의 정육각형에서는 도형의 성질을 벡터 계산의 근거로 활용합니다.

따라서 내적의 성분 계산만 반복해서는 준비가 충분하지 않습니다. 내적이 길이와 각을 나타낸다는 의미, 수직일 때 계산이 단순해지는 이유, 위치벡터의 차가 어떤 선분의 벡터인지까지 설명해 보세요. 같은 개념을 식과 그림 양쪽으로 표현할 수 있어야 문제에 맞는 접근을 고를 수 있습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

선정한 문항들은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 해설의 개념 연결을 근거로 살펴본 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 도형의 위치와 방향을 정해야 한다는 점입니다. 자취나 보조선을 먼저 표시한 뒤 그 그림이 어떤 벡터 관계를 주는지 말로 설명하는 연습을 권합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~4번의 기본 연산과 직선 조건을 정확하게 처리하고, 중간 문항에서는 그림을 식으로 바꾸는 첫 단계가 보이는지 확인하세요. 10·12번에서 접근이 막히면 표시하고 서술·단답형을 살펴보세요. 뒤에 있다는 이유만으로 13·14번까지 미루면 기본 개념으로 접근할 수 있는 문제를 풀 시간이 줄어듭니다.

서술·단답형을 풀 때는 결론에 앞서 사용한 관계를 남겨 두세요. 14번은 실수배로 나타낼 수 있다는 근거, 15번은 내적에 활용하는 수직 관계, 16번은 자취가 원임을 확인하는 과정이 핵심입니다. 연습에서는 그림 해석과 계산에 걸린 시간을 구별해 기록하면 어느 단계에서 지체되는지 확인할 수 있습니다.

검토할 때는 방향과 조건을 우선하세요. 2·7번에서는 벡터 차와 이동 방향의 부호, 4·5번에서는 방향벡터와 법선벡터의 역할, 12번에서는 내분비의 순서가 중요합니다. 13번의 크기와 방향 구별, 16번의 반지름 확인까지 마친 뒤 남은 시간에 계산을 다시 살펴보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 벡터의 방향과 같은 벡터의 정의부터 복습하세요. 그림에서 성분을 읽고 크기 비교와 방향 비교를 따로 설명해 보세요(1·2·13번 대비).
2. 평행과 수직 조건을 구별하세요. 방향벡터와 법선벡터를 표시하고 실수배 관계로 평행을 증명하는 문장을 써 보세요(4·5·14번 대비).
3. 벡터를 기준 방향으로 분해하는 연습을 하세요. 힘의 평형과 비스듬한 격자에서도 축과 부호를 먼저 정하세요(6·7번 대비).
4. 중점과 무게중심을 이용해 벡터의 합을 정리하세요. 위치 관계를 파악한 뒤 넓이의 비나 수직 관계로 연결해 보세요(8·9·15번 대비).
5. 내적의 전개와 도형적 의미를 함께 정리하세요. 길이 조건은 원의 자취로 바꾸고, 계수의 범위가 만드는 영역도 그림으로 확인하세요(3·10·11·16번 대비).
6. 사다리꼴 문제는 보조선, 닮음, 내분, 성분 계산의 순서로 다시 풀어 보세요. 풀이를 마친 뒤 각 단계에 사용한 도형 조건을 설명하세요(12번 대비).