중산고등학교
2026년 2학년 1학기 기말고사

중산고 고2 1학기 기말 기하는 어떤 시험인가

중산고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 범위는 평면벡터의 연산과 내적, 공간도형의 수직 관계, 공간좌표와 구입니다. 벡터의 성분을 비교하는 기본형에서 시작해 구의 단면과 벡터 조건을 해석하는 문항으로 확장됩니다.

도형을 보기만 하고 공식을 고르는 방식으로는 중반 이후의 연결을 놓치기 쉽습니다. 정육면체와 정사면체에서는 기준 벡터를 정하고, 구에서는 중심과 반지름 또는 단면의 원을 먼저 찾아야 합니다. 같은 도형이라도 어떤 표현을 선택하는지에 따라 풀이 길이가 달라집니다.

서술·단답형은 20~23번 네 문항이며 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 조건을 기하적으로 번역하는 첫 단계가 특히 중요합니다. 계산을 시작하기 전에 원의 교점인지, 이차식의 실근 조건인지, 내분점의 위치인지 구분해 두면 풀이 방향을 유지하기 좋습니다.

난이도 분포 — 끝부분에 모인 어려움 문항

쉬움 구간은 성분 비교, 방향벡터, 이면각, 벡터의 합과 차, 내분점, 삼수선의 정리 등 기본 개념을 확인합니다. 11번까지 쉬움 문항이 있으므로 번호가 뒤로 갔다는 이유만으로 부담을 가질 필요는 없습니다. 정의와 그림을 정확히 연결해 시간을 확보하세요.

보통 문항은 도형을 적절한 식으로 표현하는 과정이 필요합니다. 12번은 구의 그림자를 단면의 닮음으로, 13번은 벡터의 방향 범위를 접선으로 해석합니다. 계산 공식은 익숙해도 표현을 바꾸는 시간이 걸릴 수 있는 구간입니다.

17번에서 구의 접함과 단면 조건을 함께 다루고, 20~23번에서는 조건 해석이 연속됩니다. 자동 분류 기준의 비중은 실제 응시자의 체감과 같다고 볼 수 없지만, 후반 문항을 위해 별도 시간을 남겨야 하는 배치는 분명합니다.

출제 단원 — 평면벡터 중심, 공간좌표와 연결

평면벡터는 연산 자체보다 위치와 길이의 관계를 표현하는 도구로 자주 쓰입니다. 무게중심과 내분점, 내적의 전개를 묶어 공부하세요. 정육면체나 정사면체가 등장하는 5·15·16번도 분류상 평면벡터에 속하므로 그림의 겉모양과 핵심 개념을 구분해야 합니다.

공간좌표에서는 구의 중심과 반지름을 파악한 다음 접평면, 그림자, 좌표축과의 접함, 단면으로 확장됩니다. 공간도형의 3·11번은 법선벡터와 수선 관계를 확인합니다. 문항 수가 적어도 수직 관계를 보는 관점은 공간좌표 풀이의 바탕이 됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목 차이를 먼저 구분하세요

작년 시험은 수학I, 올해 시험은 기하로 과목이 다릅니다. 따라서 어려움 문항이 줄었다는 구성상의 변화만으로 올해가 더 쉬웠다고 단정할 수 없습니다. 자동 분류 기준으로 어려움은 작년 9문항에서 올해 5문항으로 줄고 보통 구간이 늘었습니다.

작년의 최다 단원은 등차등비수열이며 올해는 평면벡터입니다. 서로 겹치는 단원이 없어 단원별 증감을 직접 비교하기는 어렵습니다. 작년에는 어려움 문항이 7번부터 객관식과 서술·단답형에 흩어져 있었지만, 올해는 17번과 20~23번에 모였습니다. 다음 대비는 올해 범위의 기본형을 안정시키고 후반 조건 해석을 따로 연습하는 순서가 적절합니다.

같은 지역 학교와 비교 — 강남구 기하 시험의 구성

같은 2026학년도 2학년 1학기 기말고사 기하를 치른 강남구 이웃 학교들의 평균은 총 19.8문항, 서술·단답형 4.5문항입니다. 중산고는 전체 문항 수가 더 많고 서술·단답형 수는 평균보다 조금 적습니다. 어려움 비율은 22%로 이웃 학교 평균 31%보다 낮으며, 이 시험을 포함한 5개교 중 4위입니다.

표의 학교들은 모두 평면벡터가 가장 많은 단원입니다. 다만 최다 단원이 같다는 사실만으로 세부 유형까지 같다고 볼 수는 없습니다. 중산고 대비에서는 많은 문항을 정확히 처리하는 연습과 함께, 서술·단답형에 모인 자취·판별식·내분 조건을 끝까지 정리하는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 조건을 다른 수학적 대상으로 바꾸는 과정이 공통입니다. 공간의 거리는 평면의 현으로, 점의 개수는 원의 접함으로, 모든 실수라는 말은 실근 조건으로 번역됩니다. 분석상 고난도 문항을 복습할 때는 계산보다 이 첫 변환을 말로 설명하는 연습부터 하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

먼저 벡터의 성분 비교와 기본 도형 관계를 안정적으로 처리하세요. 17번에서 접함과 단면 조건이 바로 연결되지 않으면 표시하고 18·19번을 확인하는 방법도 있습니다. 서술·단답형을 보기 전에 객관식의 모든 계산을 완성하려고 하면 후반의 사고 시간을 확보하기 어렵습니다.

20~23번은 문제를 읽고 조건을 정리하는 시간이 필요합니다. 풀이를 시작할 때 단면 원의 중심, 원의 접함 조건, 내적이 만드는 이차식, 내분점의 위치를 먼저 적어 두세요. 전체 시험 시간은 확인되지 않으므로 고정된 분 단위 목표보다 실제 연습에서 후반에 남긴 시간을 기록하며 배분을 조정하는 편이 좋습니다.

검산은 부호뿐 아니라 정의역과 점의 위치를 중심으로 하세요. 17번은 중심 좌표의 양수 조건, 18·19번은 선분 위 매개변수 범위, 21번은 접함의 경우 구분, 22번은 모든 실수와 정수 조건, 23번은 서로 다른 점이라는 제한을 확인해야 합니다. 후보가 계산됐더라도 원래 도형에 놓일 수 있는지 확인하는 과정이 필요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 벡터의 성분과 방향부터 정리하세요. 같음·평행·수직을 각각 어떤 식으로 바꾸는지 설명하고 기본형을 풀어 보세요(1·2·4·8번 대비).
2. 위치벡터를 같은 출발점으로 통일하세요. 무게중심과 내분점을 표현한 뒤 합과 차를 정리하는 연습을 하세요(5·6·14·15·16번 대비).
3. 공간에서 좌표축과 수선의 발을 잡으세요. 내분점, 거리, 법선벡터, 삼수선의 정리를 그림과 연결하세요(3·7·11번 대비).
4. 구의 중심과 반지름을 먼저 찾으세요. 접평면·그림자·축과의 접함·단면 문제에서 어떤 직각삼각형이 생기는지 표시하세요(9·10·12·17·20번 대비).
5. 움직이는 점을 매개변수로 표현하세요. 방향의 범위는 접선으로, 선분 위의 최솟값은 범위가 있는 이차식으로 검토하세요(13·18·19번 대비).
6. 내적 조건을 자취와 실근 조건으로 번역하세요. 원의 접함, 판별식, 내분점의 범위 검토를 구분해 쓴 뒤 후반 문항을 이어 풀어 보세요(21·22·23번 대비).