문현고등학교
2022년 2학년 2학기 중간고사

문현고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

문현고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 시험의 출제 단원은 함수의극한, 함수의연속, 미분계수와도함수, 도함수의활용입니다. 극한의 기본 계산과 그래프 읽기에서 시작해 연속성 판단, 접선, 증감과 최대·최소까지 연결되는 범위입니다.

초반에는 유리화, 극한의 대소 관계, 접선의 기울기처럼 접근법을 바로 정할 수 있는 유형이 배치되어 있습니다. 중반부터는 극한 조건으로 다항식을 결정하거나 그래프의 위치 관계를 변화율로 해석해야 합니다. 공식을 아는 것에 더해 어떤 조건에서 그 공식을 적용하는지 설명할 수 있어야 합니다.

후반의 분석상 고난도 문항은 변형된 함수의 연속성, 절댓값 분모를 가진 함수의 미분가능성, 움직이는 구간의 최솟값을 다룹니다. 서술·단답형에서는 사잇값의 정리와 도함수의 정의도 확인합니다. 따라서 어려운 계산만 연습하기보다 정의와 그래프를 연결하는 학습이 필요합니다.

난이도 분포 — 기본형 이후 객관식 후반의 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1~6번, 8번, 22번입니다. 초반의 극한 계산과 미분의 기본형을 안정적으로 처리하면 후반을 검토할 여유를 만들 수 있습니다. 다만 6번은 평균값 정리를 만족하는 점이 지정된 열린구간에 속해야 하고, 8번은 함수 입력의 변화량과 분모를 맞추어야 합니다.

보통 문항은 7번부터 중후반까지 넓게 분포합니다. 연속 조건을 세우는 7·14번, 그래프를 해석하는 9·13·15번, 최댓값과 최솟값을 판단하는 12·16번처럼 필요한 사고가 다양합니다. 문제 번호만 보고 난도를 예상하기보다 첫 단계의 조건을 읽고 풀이 순서를 정하세요.

어려움은 17·20·21번으로, 그래프나 조건으로부터 새로운 함수의 성질을 파악해야 하는 공통점이 있습니다. 17번 뒤에도 보통인 18·19번이 있으므로 막힌 문항에 오래 머무르지 않는 운영이 유효합니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 동일하다고 단정할 수 없습니다.

출제 단원 — 도함수 활용과 정의의 연결

도함수의활용은 접선, 평균값 정리, 증감, 극값, 최대·최소를 고르게 다룹니다. 4번의 접선 기본형이 24번의 외부 점에서 그은 접선과 넓이로 이어지고, 12번의 고정 구간 최대·최소는 21번의 이동 구간 해석으로 확장됩니다. 같은 도구를 서로 다른 조건에 적용하는 연습이 중요합니다.

미분계수와도함수에서는 5·8번의 변화율과 정의 이해가 15번의 기하적 해석, 20번의 미분가능성 조건, 23번의 도함수 유도 과정으로 이어집니다. 도함수 공식을 계산할 수 있어도 좌우 미분계수를 비교하거나 정의를 말로 설명하지 못하면 접근이 늦어질 수 있습니다.

함수의극한은 유리화와 대소 관계뿐 아니라 다항식 결정과 좌표 도형의 극한을 포함합니다. 함수의연속은 그래프의 열린 점과 닫힌 점, 구간별 식의 접합 조건, 변형된 함수의 연속성을 확인합니다. 이 두 단원에서 익힌 좌우 극한의 구별이 후반 미분가능성 판단의 바탕입니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 해당하며, 조건 처리 구조를 근거로 살펴본 분석상 고난도 문항입니다. 단일 문항의 순위를 정한 것은 아닙니다. 공통적으로 식을 전개하기 전에 함수가 달라지는 기준을 정해야 하므로, 경계와 구간을 간단히 표시한 뒤 계산하는 연습을 권합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 기본형을 확보하고, 객관식 후반까지 전체 문제를 확인하세요. 17번에서 그래프를 다시 그리는 데 시간이 길어지면 표시한 뒤 18·19번을 살펴볼 수 있습니다. 서술·단답형 22번도 자동 분류 기준 쉬움이므로, 객관식의 어려움 문항을 모두 해결한 다음에야 서술형을 시작하는 순서에 얽매일 필요는 없습니다.

서술·단답형은 근거를 정리할 시간을 남겨 두세요. 22번은 연속성과 양 끝의 부호를 확인한 뒤 정리를 적용하고, 23번은 도함수의 정의에서 거듭제곱의 차를 분해하는 흐름을 따라가야 합니다. 24번은 접점 좌표를 구한 뒤 넓이를 계산하는 별도 단계가 필요합니다. 연습에서는 조건 해석과 계산 중 어느 부분에 시간이 드는지 구별해 기록하세요.

마지막 점검은 조건의 종류를 구별하는 데 집중하세요. 9·12번에서는 도함수가 사라지는 점과 실제 극점을 구별하고, 14·17번에서는 좌우 극한뿐 아니라 그 점의 함숫값도 확인해야 합니다. 16번에서는 높이로 잡은 변수가 실제 높이인지 절반인지, 20번에서는 절댓값을 푼 부호가 맞는지, 21번에서는 최솟값을 주는 끝점이 맞는지 검토하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 유리화와 인수분해, 극한의 대소 관계부터 복습하세요. 약분이 가능한 범위와 접근 방향을 적고, 극한 조건을 다항식의 차수와 인수 조건으로 옮겨 보세요(1·2·3·10번 대비).
2. 연속은 좌극한·우극한·함숫값을 나란히 적어 확인하세요. 구간별 함수의 접합을 연습한 뒤 절댓값과 대칭을 취한 그래프로 확장하세요(7·13·14·17번 대비).
3. 평균변화율과 미분계수를 할선과 접선의 기울기로 설명하세요. 분모가 실제 입력 변화량과 같은지 확인하고 도함수의 정의를 직접 써 보세요(5·8·15·23번 대비).
4. 증감표를 작성하고 도함수의 부호 변화를 확인하세요. 도함수가 사라져도 극값이 아닐 수 있는 사례와 양 끝점의 비교를 묶어 연습하세요(9·12·18번 대비).
5. 최대·최소는 변수의 범위를 먼저 정하세요. 도형을 한 변수의 함수로 만드는 유형과 움직이는 구간에서 최솟값의 위치를 결정하는 유형을 연습하세요(16·19·21번 대비).
6. 미분가능성과 연속성의 관계를 복습하고, 경계에서는 좌우 미분계수의 정의를 사용하세요. 정리를 적용하는 근거와 접선에서 도형으로 넘어가는 과정도 문장으로 정리하세요(6·20·22·24번 대비).