문정고등학교
2024년 1학년 1학기 기말고사

문정고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

문정고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 범위는 복소수, 이차방정식, 이차함수, 원의방정식, 도형의이동입니다. 초반의 대수 계산에서 후반의 좌표도형 해석으로 이어지는 구성입니다.

이차함수에서는 꼭짓점과 정의역을 함께 보고, 원에서는 중심과 직선 사이의 거리를 활용해야 합니다. 도형의이동은 단순한 좌표 변환을 넘어 거리의 최솟값과 도형의 방정식 변환까지 다룹니다. 같은 공식을 알아도 어떤 관계를 먼저 세우는지에 따라 풀이 길이가 달라집니다.

서술·단답형은 이차함수, 이차방정식, 원의방정식으로 이어집니다. 객관식 계산만 반복하기보다 조건을 수학적 관계로 바꾼 이유를 짧게 설명하는 연습이 필요합니다. 특히 22번은 근을 직접 구하기보다 주어진 근에서 성립하는 관계로 새로운 이차식을 구성하는 접근이 중요합니다.

난이도 분포 — 보통 문항 중심, 서술형에 놓인 어려움

쉬움 문항은 1·2·3·4·6·11·12번입니다. 복소수의 뜻과 연산, 켤레근, 이차함수의 기본형, 평행이동과 원의 위치 관계를 정확히 처리하는 구간입니다. 중간의 11·12번도 쉬움으로 분류되므로 앞 문항에서 막혀도 뒤를 확인하는 운영이 필요합니다.

보통 문항은 제한된 범위의 최대·최소, 항상 성립하는 접선 조건, 거리의 최솟값처럼 개념을 한 번 더 해석해야 하는 유형입니다. 자동 분류 기준의 보통이 풀이 시간까지 짧다는 뜻은 아닙니다. 특히 후반의 좌표도형에서는 그림을 식으로 옮기는 단계가 길어질 수 있습니다.

어려움으로 분류된 22번은 근과 계수의 관계를 새로운 이차식의 구성에 연결합니다. 서술·단답형의 21·23번은 보통으로 분류되어 있어 마지막 구간 전체를 같은 부담으로 볼 필요는 없습니다. 난이도는 자동 분류 기준이며, 자신의 약점에 따라 별도의 복습 순서를 정하세요.

출제 단원 — 이차함수와 원의방정식의 비중

이차함수는 4·6·7·8·9·21번입니다. 꼭짓점으로 식을 정하는 기본형에서 판별식, 매개변수와 무관한 접선 조건, 제한된 구간과 매출액의 최대화까지 다룹니다. 최대·최소를 찾을 때는 먼저 정의역과 축의 위치를 표시하고, 실제 상황에서는 변수의 허용 범위도 확인하세요.

원의방정식은 위치 관계, 외접원, 축과 직선에 접하는 원, 접선과 원의 성립 조건을 다룹니다. 도형의이동은 평행이동에서 대칭을 이용한 최단 경로와 방정식 변환으로 이어집니다. 중심·반지름·대칭점을 그림에 표시한 뒤 식을 세우는 습관이 두 단원 모두에 도움이 됩니다.

이차방정식에서는 근의 부호와 절댓값, 정수근 조건, 근을 이용한 이차식 구성을 확인합니다. 복소수는 초반에 배치되어 있지만 음수의 제곱근과 실수 계수의 켤레근 성질이 뒤의 대수 학습 기반이 됩니다. 단원을 나누어 외우기보다 근과 계수, 판별식, 그래프의 관계를 묶어 정리하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움은 줄고 좌표도형이 등장한 구성

작년과 올해는 모두 수학(상)입니다. 총 문항은 20문항에서 23문항으로 늘었고, 서술·단답형은 5문항에서 3문항으로 줄었습니다. 자동 분류 기준 어려움은 4문항에서 1문항으로 줄어, 문항 수 증가와 고난도 부담의 변화는 나누어 볼 필요가 있습니다.

작년의 가장 많은 단원은 순열조합이었고, 올해는 이차함수와 원의방정식입니다. 겹치는 이차함수는 양쪽 모두 6문항이며 이차방정식은 1문항에서 4문항으로 늘었습니다. 올해 자료에는 원의방정식과 도형의이동이 포함되어 있으므로 작년의 단원 배치만으로 준비 범위를 정하지 마세요.

작년 어려움은 객관식 13·14번과 서술·단답형 19·20번이었고, 올해는 서술·단답형 22번입니다. 올해는 좌표도형의 기본 관계를 안정적으로 처리하면서 근과 계수의 관계를 응용하는 서술형을 따로 연습하는 것이 좋습니다. 이 비교는 제공된 두 시험의 구성에 관한 것으로 다음 시험의 배치를 보장하지는 않습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 조건을 연결하는 부담을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 자동 분류 기준으로 22번은 어려움, 19·23번은 보통이며 이용자 투표에 따른 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 계산을 시작하기 전 조건의 의미와 적용 대상을 분명히 적는 것이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 복소수 연산과 기본 그래프, 단순 평행이동처럼 출발점이 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 7번의 항등 조건이나 10번의 정수근 검토에서 시간이 길어지면 표시하고 다음 문항을 확인하세요. 객관식 후반을 모두 끝내야 서술·단답형을 볼 수 있다는 방식보다 전체에서 접근 가능한 문제를 찾는 연습이 좋습니다.

도형 문항은 식을 세우기 전 짧은 그림을 남기세요. 14번은 중심이 놓인 사분면과 반지름의 양수 조건, 16·18번은 대칭점과 최단 경로의 교점을 확인해야 합니다. 20번은 대칭과 평행이동의 순서를 나누어 기록하면 좌표 이동과 방정식 대입에서 부호를 혼동하는 일을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토는 계산 반복보다 조건 확인에 쓰세요. 8·21번은 축과 끝점의 위치, 17번은 실제로 원을 나타내는지, 22번은 역수를 다룰 수 있는지, 23번은 가능한 직선을 모두 구했는지 확인하세요. 연습에서는 첫 식을 세우는 시간과 계산 시간을 구분해 기록하고 오래 걸린 원인을 찾아 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 복소수의 뜻과 음수의 제곱근부터 정리하세요. 실수부·허수부의 계수를 비교하고 실수 계수 방정식의 켤레근 성질로 연결하세요(1·2·3번 대비).
2. 근과 계수의 관계를 근의 부호, 절댓값, 정수근 조건과 묶어 연습하세요. 계산 전에 근의 성질을 판정하는 이유를 써 보세요(5·10번 대비).
3. 이차함수의 축과 구간을 그린 뒤 최대·최소를 판단하세요. 꼭짓점형의 기본 문제에서 제한된 정의역과 실생활의 변수 조건으로 확장하세요(4·8·9·21번 대비).
4. 판별식과 접선의 관계를 복습하세요. 매개변수와 관계없이 성립한다는 조건은 항등식으로 정리해 계수를 비교하세요(6·7번 대비).
5. 원의 중심과 반지름을 읽고 거리 조건을 세우는 연습을 하세요. 외접원과 원의 성립 조건도 함께 점검하세요(12·13·14·15·17·23번 대비).
6. 대칭이동은 대응점의 중점과 수직 관계부터 확인하세요. 최단 경로의 등호 조건과 여러 이동을 합성하는 순서를 설명해 보세요(11·16·18·19·20번 대비).
7. 주어진 근에서 성립하는 관계로 새로운 다항식을 만드는 유형을 따로 연습하세요. 두 방정식의 근을 구분하고 마지막에 필요한 합과 곱만 활용하세요(22번 대비).