현대청운고등학교
2025년 2학년 1학기 중간고사

현대청운고 2학년 1학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

현대청운고등학교는 울산 동구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 접선 및 롤의 정리·평균값 정리입니다. 극한에서 시작한 조건 해석이 미분과 도형으로 이어집니다.

반복되는 소재는 구간에 따라 식이 달라지는 함수입니다. 식의 경계에서 연속인지 확인하는 데서 끝나지 않고, 곱하거나 평행이동한 함수의 연속성까지 판단해야 합니다. 원래 함수의 불연속이 곱에서도 반드시 남는다고 생각하면 조건을 잘못 읽기 쉽습니다.

기본 계산과 논리 판단을 함께 요구합니다. 접선에서는 점을 지나는 조건과 기울기 조건을 구별해야 하며, 극한에서는 존재 조건이 어디까지 보장하는지 따져야 합니다. 서술·단답형도 그래프 해석과 정리의 적용 근거를 다루므로 풀이의 결론뿐 아니라 출발 조건을 쓰는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 중후반에 이어지는 조건 해석

보통 문항은 1~5번과 8·9·22번입니다. 그래프의 한쪽 극한, 무리식의 연속 조건, 접선과 평균변화율 같은 기본 개념이 중심입니다. 다만 8번은 겹치는 구간의 실근을 중복해서 세지 않아야 하고, 22번은 정리가 보장하는 점이 열린구간 안에 있어야 한다는 조건까지 확인해야 합니다.

어려움은 6·7번에서 먼저 나타나고 10~21번에 연속해서 배치되어 있습니다. 앞의 어려운 문항에서 오래 머물면 보통으로 분류된 8·9번이나 서술·단답형 22번의 풀이 시간이 줄어들 수 있습니다. 전체 문항을 먼저 확인하고 시작할 수 있는 조건이 보이는 문제를 확보하세요.

이 분포는 자동 분류 기준입니다. 실제 체감 난도는 그래프와 구간 분류에 얼마나 익숙한지에 따라 달라질 수 있습니다. 특히 중후반은 계산량만 줄이는 연습보다 조건을 표로 정리하고 예외를 검사하는 연습이 효과적입니다.

출제 단원 — 연속 조건을 중심으로 극한과 미분 연결

함수의연속은 2·3·8번의 기본 조건에서 14~16번과 18~20번의 복합 해석으로 이어집니다. 불연속 가능점을 찾고, 좌극한·우극한·함숫값을 비교한 뒤 매개변수나 근의 조건을 얻는 순서가 중요합니다. 특히 20번에서는 연속 조건을 그래프 교점 개수 문제로 바꾸어야 합니다.

함수의극한은 그래프 판독뿐 아니라 명제 판단, 다항식의 차수 결정, 거리의 극한까지 포함합니다. 10번은 무한대에서의 대소 관계를, 12번은 최고차항과 최저차항을 구별합니다. 가까워지는 위치에 따라 지배적인 항이 달라진다는 원리를 연결해 공부하세요.

미분계수와도함수에서는 극한식을 미분계수로 읽는 7·11번과 경계에서 미분가능성을 판단하는 13·21번이 중요합니다. 도함수의활용(1)은 접선과 정리의 조건을 확인하는 데 초점이 있습니다. 단원별 공식을 외운 뒤, 주어진 식이 어느 개념의 정의에 해당하는지 설명하는 연습을 덧붙이세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이에서 확인해야 할 조건이 여러 단계로 이어지는 분석상 고난도 문항입니다. 자동 분류 기준 어려움에 속하지만 문항 사이의 확정적인 난도 순위를 뜻하지는 않습니다. 공통적으로 경계점 목록을 먼저 만들고, 각 점에서 실제로 성립하는 조건을 확인해야 계산의 방향을 잡을 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 기본 구조를 확인하고, 6·7번에서 변형이 길어지면 표시한 뒤 8·9번으로 이동하세요. 10~21번에 어려움 문항이 이어지므로 앞에서부터 모두 끝내려는 방식은 시간 관리에 부담이 됩니다. 서술·단답형 22번도 일찍 확인해 정리의 조건부터 작성해 두는 편이 좋습니다.

조건 해석에 시간이 드는 문제는 계산 전에 작은 표를 만드세요. 16·19번은 경계점과 적용식을, 20번은 이동량의 구간과 교점 수를 대응시키면 됩니다. 21번에서는 좌측과 우측에서 각 인수가 사용하는 식을 따로 적어 두면 방향을 다시 확인하느라 쓰는 시간을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 값보다 조건을 먼저 보세요. 6번은 연속이라는 가정 없이 극한값을 함숫값으로 바꾸지 않았는지, 8번은 겹치는 구간의 근을 중복해서 세지 않았는지 확인하세요. 13·21번은 좌우 미분계수, 17번은 길이식의 부호, 22번은 열린구간의 끝점 제외를 확인하는 것이 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 그래프에서 극한값과 함숫값을 나누어 읽으세요. 입력이 이동하거나 반전될 때 접근 방향을 화살표로 표시하는 연습부터 시작하세요(1·5·21번 대비).
2. 연속 조건을 좌극한·우극한·함숫값의 일치로 쓰세요. 유리화와 인수분해를 활용한 기본형에서 곱과 구간별 함수로 확장하세요(2·3·14·15번 대비).
3. 극한 성질의 가정을 설명하고 반례를 검토하세요. 무한대에서는 최고차항, 원점 근처에서는 최저차항을 살피는 연습을 함께 하세요(6·10·12번 대비).
4. 복잡한 극한을 미분계수의 정의로 바꾸세요. 증분의 배율과 부호를 표시하고 함수의 대칭성과 곱의 미분법을 연결하세요(7·11번 대비).
5. 구간별 함수의 연속성과 미분가능성을 따로 점검하세요. 원래 함수의 경계, 이동한 경계, 실제 불연속점을 구분하는 표를 만들어 보세요(13·16·19·21번 대비).
6. 그래프와 도형의 조건을 식으로 바꾸세요. 접선은 통과점과 기울기를 구별하고 교점 수는 접점과 경계에서 다시 확인하세요(4·9·17·18·20번 대비).
7. 존재를 보장하는 정리의 가정과 결론을 문장으로 쓰세요. 실근의 최소 개수와 열린구간 안의 점이라는 조건을 정확히 설명하세요(8·22번 대비).