현대고등학교
2026년 2학년 1학기 기말고사

현대고 2학년 1학기 기말 대수는 어떤 시험인가

현대고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료의 출제 범위는 등차등비수열, 삼각함수활용, 수열의합, 수학적귀납법입니다. 수열의 일반항과 합, 귀납적으로 정의된 수열을 다루며 삼각형과 원의 관계에 사인법칙·코사인법칙을 적용하는 문항이 함께 배치되어 있습니다.

초반에는 공차 찾기, 합 기호의 성질, 점화식의 순차 대입처럼 기본 개념을 바로 적용하는 문항이 나옵니다. 이후에는 주기함수의 입력을 분류하거나, 수열의 부호에 따라 다음 항을 달리 처리하는 등 조건 해석이 필요해집니다. 공식 암기와 함께 어떤 조건에서 그 공식을 사용할지 판단하는 연습을 해야 합니다.

후반에서는 하나의 관계로 모든 계산이 끝나지 않습니다. 등비수열에 절댓값과 부분합을 연결하고, 원의 성질을 변의 비와 각의 관계로 옮기며, 부분합의 차로 홀수·짝수 번째 항을 분리합니다. 조건을 식으로 바꾼 이유와 계산 뒤 확인할 조건을 나란히 적는 습관이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 결합

자동 분류 기준 쉬움은 1~4번과 15번입니다. 수열의 기본 관계를 적용하는 구간이지만 합 기호의 상수항 처리나 유리화 후 남는 항을 잘못 읽으면 실수가 납니다. 쉬움으로 분류된 문항도 시작 번호와 마지막 번호를 표시하면서 풀어 정확성을 확보하세요.

보통은 5~8번입니다. 5·7번은 삼각형의 성질과 법칙의 적용 순서를 정해야 하고, 6번은 귀납 단계에서 추가하는 항을 찾아야 합니다. 8번은 주기함수의 값을 입력에 따라 나누어 합에 반영하므로, 단순 합 공식 적용에 앞서 예외가 되는 입력을 찾아야 합니다.

9~14번에는 어려움 문항이 연속됩니다. 부호가 섞인 합, 정수 조건, 절댓값, 원과 접선의 성질처럼 검토할 요소가 겹쳐 있습니다. 16~18번도 어려움으로 분류됩니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 체감 난도를 확정하는 자료는 아니지만, 후반에 충분한 검토 시간을 남기는 연습의 근거로 삼을 수 있습니다.

출제 단원 — 수열의 구조와 삼각형의 관계

등차등비수열은 1·11·13·15·17번입니다. 일반항이나 중항을 바로 사용하는 기본형에서 시작해 이웃한 항의 곱, 음의 공비와 절댓값, 행렬의 성분 합으로 확장됩니다. 수열이라는 공통 틀 안에서도 조건의 표현이 달라지므로 먼저 공차 또는 공비로 항을 통일하는 연습이 필요합니다.

삼각함수활용은 5·7·12·14·16번입니다. 외접원의 반지름, 내분점과 선분, 여러 삼각형의 관계를 다룹니다. 사인법칙은 대응하는 변과 각 또는 공통 외접원을 연결할 때, 코사인법칙은 변과 끼인각의 관계를 정리할 때 사용하는 식으로 구별해 두세요. 원과 접선의 성질도 함께 확인해야 합니다.

수열의합은 2·4·8·9번으로, 합의 선형성에서 소거와 조건별 합산까지 이어집니다. 수학적귀납법은 3·6·10·18번이며, 모두 증명 문항인 것은 아닙니다. 점화식의 계산, 귀납 증명의 빈칸, 부호에 따른 분기, 부분합에서 일반항을 복원하는 내용을 함께 준비하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목명 변화와 공통 단원의 배치

작년 시험은 수학I, 올해 시험은 대수로 과목명이 다릅니다. 따라서 동일한 과목의 난도 변화로 단정하지 않고, 자료에 공통으로 제시된 단원과 분류를 비교합니다. 총 문항은 같지만 서술·단답형은 작년 15·16·18번에서 올해 15~18번으로 바뀌었습니다.

자동 분류 기준 어려움 문항은 작년 8문항에서 올해 9문항으로 늘었습니다. 작년에는 8번에서 처음 등장하고 9·10번은 보통이었으나, 올해는 9~14번에 연속됩니다. 서술·단답형에서는 작년 15번이 보통이었고 올해 15번은 쉬움입니다. 따라서 분류 수치뿐 아니라 풀 수 있는 문항을 찾는 순서도 함께 살펴보세요.

공통 단원 중 삼각함수활용은 작년 6문항에서 올해 5문항, 수열의합은 5문항에서 4문항으로 줄었습니다. 등차등비수열은 4문항에서 5문항, 수학적귀납법은 3문항에서 4문항으로 늘었습니다. 다음 시험 대비에서는 삼각형의 기본 법칙을 유지하면서 수열의 조건 변환과 점화식의 분기 연습을 보강하는 방향이 적절합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정한 순위가 아니라 조건을 연결하는 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식의 양보다 변환의 순서가 중요합니다. 부호를 먼저 정할지, 도형의 비를 먼저 찾을지, 합을 먼저 분리할지 결정한 뒤 계산을 시작하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~4번의 기본형과 5~8번의 출발점을 빠르게 확인하세요. 9~14번에서 식 정리가 길어지면 진행한 관계를 표시하고 다른 문항을 보세요. 15번은 중항의 성질로 접근할 수 있으므로 객관식 후반에 시간을 모두 쓴 뒤 서술·단답형을 펼치는 방식은 피하는 것이 좋습니다.

도형에서는 그림 옆에 대응 관계를 기록하세요. 12번은 보각에서 사인과 코사인의 부호가 다르게 처리된다는 점이 중요하고, 14번은 접선과 현의 각으로 얻는 닮음의 대응이 핵심입니다. 16번은 방정식에서 나온 후보 중 점의 위치와 길이의 대소 조건에 맞는 것을 남겨야 하므로 계산 종료와 조건 검토를 구분하세요.

수열에서는 부호와 범위를 마지막 검토 대상으로 삼으세요. 10번은 항이 영이 되는 경계에서 곱의 부호 조건을 다시 확인하고, 11번은 정수와 영이 아닌 항이라는 제한을 점검해야 합니다. 13번은 음의 공비와 절댓값의 부호, 18번은 처음 항의 별도 처리와 홀짝별 마지막 항을 확인하세요. 실제 시험 시간을 가정한 연습에서는 이런 검토를 마칠 여유까지 기록하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 등차수열의 일반항과 등차·등비중항부터 복습하세요. 두 수를 개별적으로 구하기 전에 합과 곱으로 목적식을 정리하는 연습을 하세요(1·15번 대비).
2. 합 기호의 성질과 유리화를 이용한 소거를 연습하세요. 시작 항과 끝 항을 직접 적고, 주기함수에서는 일반적인 입력과 예외 입력을 나누세요(2·4·8번 대비).
3. 점화식은 항을 차례로 계산한 뒤 부호가 바뀌는 기준을 표로 정리하세요. 귀납 증명에서는 가정한 합에 새로 더하는 항을 구별하세요(3·6·10번 대비).
4. 사인법칙·코사인법칙의 기본형을 익힌 뒤 공통 외접원, 보각, 닮음이 연결된 도형으로 확장하세요. 계산 뒤 길이와 점의 조건을 검토하세요(5·7·12·14·16번 대비).
5. 수열의 교대합과 이웃한 항의 곱을 공차·공비로 통일하세요. 음의 공비에서는 항의 부호를 먼저 정하고 절댓값을 처리하세요(9·11·13번 대비).
6. 다른 표현에서 수열 규칙을 복원하는 연습으로 마무리하세요. 행렬의 곱에서는 성분 합을 묶고, 부분합에서는 차를 이용해 홀짝별 항을 분리하세요(17·18번 대비).