분당대진고등학교
2025년 2학년 2학기 중간고사

분당대진고 2학년 2학기 중간 수학II는 어떤 시험인가

분당대진고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 극한 계산을 바탕으로 연속성과 미분가능성을 판단하고 접선의 조건까지 다룹니다.

같은 개념을 서로 다른 표현으로 읽는 능력이 중요합니다. 곱이 연속이라는 조건은 불연속점에서 다른 인수가 어떤 값을 가져야 하는지로 바뀌고, 교점 개수는 매개변수에 따른 함수의 극한과 연속성으로 이어집니다. 공식 암기만으로는 출발 조건을 정하기 어려운 구성입니다.

기본형을 빨리 처리한 뒤 조건 해석에 시간을 남기는 전략이 필요합니다. 도형에서는 좌표와 거리 관계를 먼저 만들고, 그래프에서는 꺾이는 점과 접하는 순간을 먼저 표시하세요. 어려움 문항이 넓게 분포하므로 번호 순서만으로 풀이 시간을 정하기보다 구조가 보이는 문항을 찾아야 합니다.

난이도 분포 — 초반부터 이어지는 조건 해석

쉬움은 구간별 함수의 연속 조건을 적용하는 1번이고, 보통은 평균변화율과 미분계수를 연결하는 2번, 함수 사이의 관계식을 극한 형태로 바꾸는 5번입니다. 이 문항들은 기본 개념을 점검하면서 풀이 시간을 확보할 대상으로 삼을 수 있습니다.

3·4번부터 그래프의 불연속과 명제의 성립 조건을 따져야 합니다. 6번 이후에는 자동 분류 기준 어려움이 이어지지만, 필요한 접근은 서로 다릅니다. 11번은 접선과 좌표 계산, 14·20번은 도형의 대수화, 17·19번은 연속성과 미분가능성의 순차 적용이 중심입니다.

이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도 순위를 뜻하지 않습니다. 특히 어려움이라는 같은 범주 안에서도 계산 중심 문항과 경우 분류 중심 문항을 나누어 준비하세요. 막힌 문항의 원인을 개념 누락, 그래프 해석, 경우 누락으로 구분하면 복습 방향을 정하기 쉽습니다.

출제 단원 — 함수의 극한을 중심으로 연결되는 연속과 미분

함수의극한은 9문항으로 가장 큰 비중을 차지합니다. 단순 대입을 넘어서 다항식의 최고차항과 최저차항을 비교하거나, 교점 개수의 변화를 읽거나, 도형의 길이와 넓이를 식으로 바꾸어야 합니다. 극한 기호 안의 식을 계산하기 전에 그 식이 어떻게 만들어지는지 설명하는 연습이 필요합니다.

미분계수와도함수는 평균변화율에서 출발해 곱의 미분, 구간별 함수의 미분가능성으로 확장됩니다. 함수의연속에서는 곱으로 불연속을 보완하는 유형과 개수를 세는 함수의 불연속이 함께 등장합니다. 연속 조건을 먼저 확인하고 미분계수로 넘어가는 순서를 습관화하세요.

도함수의활용은 접선의 기울기를 구하는 데서 끝나지 않습니다. 12번은 접하는 순간을 교점 개수의 경계로 사용하고, 16번은 등차수열 조건을 직선과 다항식의 관계로 바꿉니다. 도함수 계산과 함께 접선 조건이 원래 그래프에 주는 정보를 정리해야 합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 조건을 만족할 후보를 만든 다음 원래 구간과 경계에 대조해야 합니다. 그래프 스케치와 경우표를 남겨 두면 중복 계산과 빠진 경우를 찾는 데 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·2·5번의 기본 구조를 확인하고, 나머지는 출발 조건이 보이는 문항부터 처리하세요. 초반의 3·4번에서 오래 막혀 뒤를 충분히 보지 못하는 상황을 피하는 것이 좋습니다. 각 문항에 필요한 그래프나 관계식이 잡히지 않으면 표시해 두고, 다시 볼 때 사용할 출발 조건만 짧게 적으세요.

20번은 도형에서 넓이식을 만드는 과정까지 서술해야 하므로 풀이 근거를 남길 시간을 확보하세요. 거리의 제곱 관계, 축 위의 점의 위치, 밑변과 높이의 대응을 순서대로 쓰면 계산을 다시 확인하기 쉽습니다. 14번도 좌표를 먼저 정리하면 길이 계산과 유리화가 뒤섞이는 일을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 4번의 극한값과 함숫값 구별, 10번의 서로 다른 변화 시점, 13·15번의 경계에서의 개수를 우선 확인하세요. 17·19번은 연속성만 확인하고 미분가능성까지 결론 내리지 않았는지 살피세요. 구간별 계산으로 얻은 후보를 원래 정의역과 부호 조건에 다시 대조하는 습관이 필요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 좌극한·우극한·함숫값을 분리해 쓰는 기본 연습부터 시작하세요. 연속의 조건과 극한의 성질에 필요한 가정을 말로 설명해 보세요(1·3·4·6번 대비).
2. 평균변화율과 미분계수의 정의를 연결하세요. 입력의 증분이 바뀌면 분모와 배율을 함께 맞추고 곱의 미분까지 확장하세요(2·8번 대비).
3. 극한식은 주어진 비율이 보이도록 정리하세요. 다항식의 최고차항·최저차항 비교와 분모의 영점에서 소거 가능성을 묶어 연습하세요(5·7·9번 대비).
4. 개수를 함수로 나타내는 문제를 모아 경계표를 만드세요. 교점이 합쳐지거나 끝점이 포함되는 순간의 값과 양옆 극한을 구별하세요(10·12·13·15·18번 대비).
5. 접선과 도형 조건을 식으로 옮기는 연습을 하세요. 기울기·접점·축의 절편을 구별하고 거리와 넓이를 좌표로 표현하세요(11·14·16·20번 대비).
6. 미분가능성은 연속 확인 뒤 미분계수의 좌우 일치를 점검하세요. 곱으로 불연속과 꺾임을 보완할 때 필요한 인수와 부호 조건을 정리하세요(17·19·21번 대비).