문일고등학교
2022년 2학년 1학기 중간고사

문일고 2학년 1학기 중간 수학I은 어떤 시험인가

문일고등학교는 서울 금천구에 있습니다. 이 시험은 지수와 로그의 계산, 지수함수와 로그함수의 그래프, 일반각과 호도법, 삼각함수의 기본 관계 및 부채꼴 활용을 다룹니다. 객관식에 계산과 그래프 판단이 함께 배치되고, 서술·단답형에서는 최대·최소와 부채꼴의 중심각을 확인합니다.

기본 문항과 여러 개념을 연결하는 문항이 섞인 시험입니다. 자동 분류 기준으로 2·3번이 어려움이지만 뒤의 4~6번은 쉬움입니다. 앞에서 풀이가 보이지 않아도 다음 문항을 살펴보세요. 식이 복잡할 때에는 전개보다 무엇을 같은 문자나 같은 밑으로 묶을지 먼저 판단하세요.

20번은 근호 치환과 지수의 대소 비교가 필요하지만, 21번은 동경을 정리하고 부채꼴 공식을 적용하는 구조입니다. 서술·단답형도 요구하는 접근이 다르므로, 전체를 훑어보고 계산을 마무리할 수 있는 문항을 먼저 확보하세요.

난이도 분포 — 초반부터 등장하는 어려움 문항

쉬움 구간에서는 거듭제곱근, 로그의 계산, 그래프의 기본 성질, 각의 단위와 부호를 확인합니다. 공식 자체를 알고 있어도 짝수차 근호의 부호나 그래프 이동 방향을 잘못 판단하면 실수가 납니다. 풀이를 짧게 쓰되 부호와 정의 조건까지 생략하지 않는 것이 중요합니다.

보통 문항인 9·10·18번은 각각 그래프 변환, 지수식의 치환, 삼각함수 사이의 관계를 다룹니다. 모두 익숙한 개념을 연결하는 단계이므로, 계산에 들어가기 전에 변환의 종류나 치환 문자의 범위를 적으면 풀이가 안정됩니다.

어려움 문항은 끝부분에만 몰려 있지 않습니다. 특히 11~13번에서는 좌표로 도형을 구성하거나 넓이를 비교하고, 로그식을 평면의 조건으로 바꾸는 판단이 이어집니다. 이 분류는 자동 분류 기준이며, 개인이 느끼는 부담은 그래프와 대수 중 어느 쪽에 익숙한지에 따라 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 삼각함수와 로그가 중심

가장 많은 삼각함수는 각의 표현부터 식의 변형까지 범위가 넓습니다. 14·15번의 단위와 부호가 17·18·19번의 조건 판단으로 이어지고, 부채꼴은 16번과 21번에서 서로 다른 방식으로 활용됩니다. 공식만 모아 외우기보다 각을 그림으로 표시하고 조건을 식으로 옮기는 연습이 필요합니다.

로그는 성질을 이용한 계산뿐 아니라 최댓값 판단까지 포함합니다. 4·5번의 정리 능력을 바탕으로 3번에서는 밑을 맞추고, 7번에서는 양수 조건과 부등식을 연결하며, 13번에서는 치환한 식을 도형으로 해석합니다. 계산 문제와 활용 문제를 분리해서 공부하면 연결 단계가 약해질 수 있습니다.

지수함수로 분류된 11번도 로그함수와 도형 해석이 함께 등장합니다. 단원 이름만 보고 필요한 공식을 제한하지 마세요. 그래프 위의 점이라는 조건과 축에 평행한 선분이라는 조건을 각각 좌표와 길이 관계로 옮기는 능력이 중요합니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 서울 지역의 같은 시험

같은 2022학년도 2학년 1학기 중간고사 수학I을 치른 서울 지역 학교들과 비교하면, 문일고의 총 21문항은 지역 평균 22.3문항보다 적고 서술·단답형 2문항도 평균 5.4문항보다 적습니다. 반면 자동 분류 기준 어려움 비율은 48%로 지역 평균 26%보다 높으며, 11개교 중 2위입니다. 문항 수가 적다는 이유로 풀이 부담도 작다고 보기는 어렵습니다.

가장 많은 단원은 학교마다 다릅니다. 문일고와 미림여자고등학교는 삼각함수가 가장 많고, 경기고등학교와 개포고등학교 등은 로그함수, 대원고등학교와 압구정고등학교 등은 로그가 중심입니다. 문일고를 준비할 때에는 삼각함수의 각·부호·부채꼴을 폭넓게 익히면서 로그의 변형과 활용을 함께 다져야 합니다.

객관식에서도 조건을 해석하는 연습이 필요합니다. 11~13번처럼 그림을 좌표로 바꾸거나 식을 그림으로 바꿀 때, 풀이 첫 줄에 판단 근거를 적어 보세요. 방향을 고르는 과정이 명확해야 불필요한 계산을 줄일 수 있습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 각각 넓이의 이동, 좌표의 기울기, 근호의 치환으로 표현을 바꾸는 것이 출발점입니다. 분석상 고난도 문항으로 선정한 이유도 계산량 자체보다 적절한 표현을 선택하는 데 있습니다. 풀이를 복습할 때에는 계산 결과보다 어떤 조건을 보고 그 표현을 선택했는지 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1번과 4~6번, 8번, 14·15번의 기본 개념을 정확히 처리하세요. 2·3번에서 막히면 필요한 변형을 메모하고 넘어가세요. 연습할 때에는 풀이 방향을 찾는 시간과 계산을 마치는 시간을 구분해 살펴보세요.

11~13번은 그림을 해석하는 시간이 필요한 구간입니다. 도형의 평행 관계, 이동한 그래프, 치환 좌표의 제한을 먼저 표시하고 계산을 시작하세요. 객관식을 모두 끝낸 뒤 서술·단답형을 보겠다는 계획보다는 20·21번의 요구를 미리 확인하고, 특히 기본 구조인 21번을 마무리할 여유를 남기는 편이 안정적입니다.

검토에서는 조건을 중심으로 돌아보세요. 7번은 부등식을 적용하는 대상의 양수 여부와 등호 조건, 10번은 치환 문자의 양수 범위, 17번은 정수 조건과 각의 범위가 중요합니다. 18·19번의 사분면에 따른 부호와 21번의 중심각 범위도 확인하세요. 계산을 처음부터 반복하기보다 빠뜨린 조건을 찾는 검토가 효과적입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 지수와 근호의 기본 법칙을 정리하세요. 짝수차 근호의 부호를 확인하고 지수의 합을 곱셈 공식으로 바꾸는 연습을 하세요(1·2번 대비).
2. 로그는 같은 밑끼리 묶는 계산에서 시작해 지수 관계를 로그로 바꾸는 연습으로 이어 가세요. 실생활 관계식에서는 대입 후 이항의 부호를 확인하세요(3·4·5·6번 대비).
3. 로그의 최댓값은 적용 조건을 먼저 적으세요. 양수인 로그에 부등식을 쓰는 유형과 로그를 좌표로 치환하는 유형을 나란히 복습하세요(7·13번 대비).
4. 함수 그래프는 이동·대칭·확대를 구분하고, 점의 좌표와 도형의 길이를 연결하세요. 치환으로 방정식을 풀 때에는 새 문자의 범위도 기록하세요(8·9·10·11번 대비).
5. 그래프와 넓이 문제에서는 이동해도 유지되는 영역을 표시하세요. 삼각형이나 사다리꼴과 곡선의 위치를 비교하는 연습을 하세요(12번 대비).
6. 각의 단위, 사분면별 부호, 동경의 일치 조건을 순서대로 익히고 삼각함수의 관계식을 통분·인수분해에 활용하세요(14·15·17·18·19번 대비).
7. 부채꼴과 최대·최소는 조건을 한 변수의 식으로 바꾸는 과정을 연습하세요. 풀이 끝에는 변수 범위와 등호 성립 여부를 확인하고 중심각·넓이의 표기를 구분하세요(16·20·21번 대비).