중산고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

중산고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

중산고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 회차의 등록 자료에서 확인되는 단원은 합성함수와역함수, 유리함수, 순열조합, 무리함수, 집합입니다. 함수의 식과 그래프를 연결하는 문제와 제한 조건 아래 가능한 대상을 세는 문제가 함께 구성되어 있습니다.

초반에는 그래프의 시작점과 점근선을 읽거나 합성함수의 정의에 따라 대입하는 기본형이 보입니다. 이후에는 함숫값을 새 변수로 두고 다시 원래 입력을 찾거나, 매개변수에 따라 교점의 개수가 달라지는 상황을 해석해야 합니다. 공식을 아는 것과 그 공식을 적용할 범위를 판단하는 능력이 함께 필요합니다.

객관식과 서술·단답형이 뒤쪽에서 분리되는 구성은 아닙니다. 자료상 서술·단답형인 문항도 앞부분에 있으므로 번호만 보고 풀이 순서를 고정하지 마세요. 각 문항의 조건과 접근 가능성을 먼저 살피고, 구간이나 경우를 나누는 기준을 정한 뒤 계산하는 것이 효과적입니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 검토

쉬움은 2·4·5번으로, 무리함수의 그래프에서 식을 정하거나 순열과 합성함수의 기본 구조를 적용하는 문항입니다. 보통 문항도 1·3·6·7·8·10번에 배치되어 있어 초반에 기본 개념을 정리할 기회가 있습니다. 다만 선분의 범위와 묶음 내부의 배열처럼 계산 전에 확인할 조건은 남아 있습니다.

9번은 역함수의 대칭성을 도형의 넓이와 연결하며, 10번 뒤로는 자동 분류 기준 어려움 문항이 이어집니다. 14·15·19번은 합성함수의 조건을 여러 단계로 풀고, 16~18번과 20번은 경우를 빠짐없이 나누어야 합니다. 뒤쪽 문제를 모두 같은 속도로 풀겠다는 계획보다 접근이 보이는 문제를 골라 진행하는 연습이 필요합니다.

이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다. 그래프에 익숙한 학생과 경우의 수에 익숙한 학생의 부담이 다를 수 있으므로, 복습할 때는 단순 오답 여부와 함께 구간 설정·치환·중복 제거 중 어디에서 막혔는지 기록하세요.

출제 단원 — 합성함수와역함수 중심의 연결

합성함수와역함수는 3·5번의 대입에서 9번의 대칭성, 14·15·19번의 합성방정식으로 확장됩니다. 안쪽 함수의 값을 치환해 바깥 함수의 조건을 먼저 해결한 뒤, 그 값에 대응하는 원래 입력을 모두 찾는 흐름이 중요합니다. 치환한 값의 개수와 원래 실근의 개수를 구분하는 연습이 필요합니다.

유리함수는 점근선과 정의역의 기본 성질뿐 아니라 교점의 개수와 역함수, 구간별 치역까지 연결됩니다. 무리함수도 시작점 읽기에서 선분과의 만남, 구간별 교점 판단으로 이어집니다. 식을 정리할 때 제외되는 입력과 제곱하기 전의 부호 조건을 그래프에 함께 표시하세요.

순열조합과 집합은 등록 단원이 달라도 조건을 만족하는 경우를 센다는 공통점이 있습니다. 차이를 새 변수로 두는 11번, 카드의 개수나 최솟값으로 나누는 16·20번, 문자 묶음을 이용하는 17번처럼 분류 기준을 고르는 일이 핵심입니다. 단원명만 외우기보다 무엇을 고정하면 나머지를 쉽게 셀 수 있는지 설명해 보세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 과목명 차이와 후반 부담

작년 자료의 과목명은 수학(하), 올해는 공통수학2로 등록되어 있으며 동일 과목으로 표시되어 있지 않습니다. 따라서 과목 전체를 동일한 범위로 놓고 비교하기보다, 겹치는 단원과 문항 구성의 변화를 참고해야 합니다. 난이도 수치는 모두 자동 분류 기준입니다.

겹치는 단원에서 합성함수와역함수는 작년 4문항에서 올해 6문항으로, 유리함수는 3문항에서 5문항으로 늘었습니다. 순열조합은 양쪽 모두 5문항이고 무리함수는 2문항에서 3문항으로 늘었습니다. 올해는 합성함수의 역추적과 유리함수의 정의역·치역을 연결하는 학습에 충분한 시간을 두는 편이 좋습니다.

자동 분류 기준 어려움 문항 수가 늘었고 서술·단답형 구성도 확대되었습니다. 작년에는 7번에서 어려움이 나타났고 후반에도 보통인 17번이 있었지만, 올해는 11번부터 끝까지 어려움이 이어집니다. 다음 시험을 준비할 때는 기본형의 처리 속도와 함께 긴 조건을 구간표나 경우표로 정리하는 연습을 병행하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 정해진 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 중간 계산에서 얻은 후보를 원래 함수의 범위에 대조해야 한다는 것입니다. 풀이 옆에 정의역·치역·구간 경계를 적어 두고 마지막 검토의 기준으로 사용하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 대입과 기본 성질로 출발점이 바로 보이는 문제를 확보하세요. 9번에서 넓이 해석이 막혀도 10번의 약수 세기를 확인할 수 있습니다. 후반에 어려움 문항이 이어지므로 하나의 문제에서 진전 없이 계산을 반복하기보다, 현재 필요한 조건을 적고 다시 돌아올 표시를 남기세요.

함수 문제는 계산 전에 제한 조건을 써 두는 것이 시간을 아껴 줍니다. 12·13번은 분모가 사라지는 입력과 방정식의 차수가 낮아지는 예외를 확인하고, 14·15번은 치환한 값과 원래 입력의 구간을 분리하세요. 21번은 제곱 전 부호를, 22번은 구간별 치역의 경계를 확인해야 합니다.

경우의 수 문제는 검산할 수 있는 분류표를 남기세요. 7번은 묶음 내부의 배열, 17번은 시작 문자와 묶음 길이, 18번은 앞 단계에서 공을 받았는지 여부가 중요합니다. 16·20번은 카드 개수나 최솟값을 고정해 분류가 겹치지 않는지 살펴보면 같은 경우를 다시 세는 실수를 줄일 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 기본 그래프부터 복습하세요. 무리함수의 시작점과 유리함수의 점근선을 식의 변형과 연결하고, 정의역과 치역을 함께 적으세요(1·2·6·8번 대비).
2. 합성함수의 적용 순서와 역함수의 입력·출력 관계를 익히세요. 대입 문제를 푼 뒤 그래프의 대칭을 넓이 해석으로 연결하세요(3·5·9번 대비).
3. 구간별 합성방정식을 치환과 역추적으로 나누어 연습하세요. 치환한 값마다 원래 입력의 존재 구간과 중복을 기록하세요(14·15·19번 대비).
4. 교점 문제는 판별식과 제한 조건을 묶어 푸세요. 분모 조건, 제곱 전 부호, 접점과 경계의 예외를 마지막에 검사하세요(12·13·21번 대비).
5. 경우의 수는 순열의 기본형에서 조건부 분배와 문자 묶음으로 확장하세요. 전체를 세기 전에 무엇을 먼저 고정할지 설명하세요(4·7·11·17·18번 대비).
6. 집합의 원소 세기를 분류표와 여사건으로 연습하세요. 약수의 지수, 카드의 개수, 최솟값처럼 서로 겹치지 않는 기준을 사용하세요(10·16·20번 대비).
7. 마지막으로 치역과 일대일대응을 반복 합성에 연결하세요. 구간별 치역을 그린 뒤 고정점과 서로 교환되는 입력을 구별하세요(22번 대비).