서문여자고등학교
2022년 1학년 1학기 중간고사

서문여자고 1학년 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

서문여자고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 출제 단원은 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 이차함수, 여러가지부등식입니다. 다항식의 사칙연산과 공식 변형을 바탕으로 근과 그래프의 성질을 해석하는 범위입니다.

초반에는 인수정리, 수치 대입, 복소수 연산처럼 접근법이 비교적 직접적인 문제가 배치되어 있습니다. 중반부터는 도형의 조건을 식으로 옮기거나, 항등식에 알맞은 값을 대입하거나, 판별식의 부호를 해석해야 합니다. 계산을 할 수 있는지에 더해 어떤 식으로 계산할지를 판단해야 하는 시험입니다.

서술·단답형도 모두 같은 성격은 아닙니다. 18번은 실수의 제곱에 관한 성질, 19번은 켤레복소수, 20번은 매개변수를 포함한 이차함수의 해석이 중심입니다. 객관식의 계산 연습에 그치지 말고 조건을 적용한 이유를 짧게 설명하는 연습을 함께 하세요.

난이도 분포 — 초반 기본형과 중후반 조건 연결

자동 분류 기준 쉬움 구간은 1~6번입니다. 인수정리와 곱셈 공식, 복소수의 사칙연산 등 기본 개념을 곧바로 적용할 수 있습니다. 다만 3번의 접하는 조건이나 5번의 넓이 비처럼 문장을 수학적 관계로 정확히 바꾸는 과정은 생략할 수 없습니다.

보통 구간에서는 서로 다른 표현을 연결해야 합니다. 8번은 근호 안의 부호, 10번은 도형에서 정해지는 정의역, 11번은 삼각형의 성립 조건이 중요합니다. 익숙한 공식을 적용했더라도 적용 가능한 범위가 맞는지 확인하는 습관이 필요합니다.

어려움 문항은 중후반에 떨어져 배치되어 있습니다. 12번에서 막혀도 뒤의 13·14번을 확인하고, 서술·단답형에서도 19번과 별도로 18·20번의 접근 가능성을 판단하세요. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도나 문항 간 확정적인 난도 순위를 뜻하지는 않습니다.

출제 단원 — 다항식의 비중과 함수·방정식의 연결

가장 많은 다항식은 단순 전개만을 다루지 않습니다. 5번은 직사각형의 넓이 비, 9번은 삼각형의 변에 관한 조건, 16번은 반원과 닮음 관계를 대수식으로 옮겨야 합니다. 18번에서는 공식 변형 뒤 실수의 제곱이 갖는 성질을 활용하므로, 계산 결과의 의미까지 해석해야 합니다.

항등식은 대입 대상을 고르는 능력이 중요합니다. 1번의 인수정리에서 12번의 이차식의 근 대입으로 확장되고, 13번에서는 이동된 문자식의 값을 조절해 계수 합을 분리합니다. 14번은 반복되는 나눗셈을 순서대로 연결하는 유형이므로 몫과 나머지의 역할을 구분하세요.

이차함수와 이차방정식은 판별식과 근과 계수의 관계를 공유합니다. 3·7·11번은 접함이나 위치 관계를 근의 존재 조건으로 바꾸고, 15·17번은 다른 조건과 결합합니다. 복소수 역시 4번의 계산에서 8번의 부호 해석, 19번의 켤레 관계로 이어지므로 단원 안의 개념을 따로 암기하는 데 그치지 마세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 이용자 투표로 난도 순위를 확정한 것이 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 조건을 변환한 뒤 그 결과를 다음 개념에 다시 연결한다는 점입니다. 복습할 때는 긴 계산을 재현하기보다 각 단계에서 사용한 조건을 한 문장씩 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본 계산을 안정적으로 마치고, 후반까지 전체 문항을 확인할 여유를 확보하세요. 12번의 식 변형이 바로 보이지 않으면 표시해 두고 13·14번으로 이동할 수 있습니다. 객관식을 모두 끝내야 서술·단답형을 시작한다는 순서에 묶이지 말고 18번의 공식 변형과 20번의 소문항도 먼저 살펴보세요.

조건 확인은 계산 전과 후에 나누어 하세요. 7번은 항상 위쪽이라는 표현에서 등호의 허용 여부를, 8번은 근호 안의 부호를 먼저 확인해야 합니다. 10번은 움직이는 점의 범위 안에 축이 있는지, 15번은 판별식으로 얻은 조건을 만족하는 계수 후보인지 계산 뒤에 다시 대조하세요.

서술·단답형에서는 결론을 뒷받침하는 근거를 남기는 연습이 필요합니다. 18번은 실수의 제곱의 성질, 19번은 제외한 인수와 켤레근의 근거, 20번은 매개변수의 범위와 축·끝점 비교가 중요합니다. 마지막 검토에서는 전개를 모두 반복하기보다 부호, 정의역, 분모 조건을 찾아 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 수치 대입과 기본 연산을 먼저 정리하세요. 다항식을 전개할지 값을 먼저 대입할지 비교하고, 복소수 나눗셈의 부호를 점검하세요(1·2·4번 대비).
2. 곱셈 공식을 합·곱·차의 제곱 사이의 관계로 익히세요. 실수의 제곱이 음수가 될 수 없다는 성질까지 설명해 보세요(6·18번 대비).
3. 도형의 조건을 대수식으로 옮기는 연습을 하세요. 넓이 비, 변의 양수 조건, 닮음 관계를 먼저 표시한 뒤 공식을 선택하세요(5·9·16번 대비).
4. 항등식은 목표에 맞는 대입과 나눗셈 관계의 연결을 연습하세요. 이동된 문자식을 기준으로 계수 합을 분리하고 이차식의 근 대입으로 확장하세요(12·13·14번 대비).
5. 판별식과 근과 계수의 관계를 함께 복습하세요. 접함, 항상 성립함, 허근이라는 문장을 구별하고 정수 조건이나 삼각형 조건으로 후보를 검토하세요(3·7·11·15번 대비).
6. 복소수는 부호 조건과 켤레의 성질을 묶어 연습하세요. 근호의 연산 법칙과 거듭제곱의 실수 조건을 사용할 수 있는 전제를 써 보세요(8·19번 대비).
7. 이차함수는 축과 정의역을 표시하는 습관을 들이세요. 도형의 넓이, 교점의 근 관계, 매개변수에 따른 최솟값의 변화 순서로 확장하세요(10·17·20번 대비).